Avalie os limites abaixo e encontre o correspondente valor caso exista.

a lim x → 0 + ⁡ x ( x 1 / 4 )                       b lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x 3

Passo 1

Vamos começar com esse primeiro limite:

L = lim x → 0 + ⁡ x ( x 1 / 4 )   ⁡

Como a gente tem uma função meio complicada no expoente, uma boa ideia é tirar o logaritmo. Olha só o que acontece nesse caso:

ln ⁡ L = ln ⁡ lim x → 0 + ⁡ x x 1 / 4

E como a função logaritmo é contínua, você pode colocar o logaritmo “pra dentro do limite”:

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x 1 / 4

Agora vamos usar outra propriedade dos logaritmos:

ln ⁡ a b = b ln ⁡ a

Então:

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ x 1 / 4 ln ⁡ x

Beleza, já simplificamos bastante.

Passo 2

Agora vamos dar uma olhada nessa função.

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ x 1 / 4 ln ⁡ x

Quando x tende a zero, o x 1 / 4 também tende a zero, e ln ⁡ x tende a - ∞ .

Ok, isso está com cara de regra de L’Hospital. Vamos reescrever a função desse jeito aqui:

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - 1 / 4  

Beleza, agora que a gente inverteu o x 1 / 4 , tanto o numerador quando o denominador estão tendendo a ± ∞ ! Já dá pra aplicar a regra de L’Hospital.

Passo 3

Pra aplicar essa regra, primeiro temos que tirar a derivada das funções de cima e de baixo. Então vamos fazer isso:

d d x ln ⁡ x = 1 x

d d x x - 1 / 4 = - 1 4 x - 1 4 - 1 = - 1 4 x - 5 4 = - 1 4 x 5 / 4

Então, substituindo no limite:

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x x - 1 / 4   = lim x → 0 + ⁡ - 1 / x 1 / 4 x 5 / 4  

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ - 1 x   4 x 5 / 4 1

Simplificando essa fração:

ln ⁡ L = lim x → 0 + ⁡ - 4 x 1 / 4

Agora sim, esse limite é tranquilo de resolver, quando x tende a zero, a função também tende a zero, então:

ln ⁡ L = 0

E se o logaritmo de L é zero, então:

L = e 0 = 1

Pronto, resolvemos o primeiro limite!

Passo 4

Agora vamos para o próximo limite:

L = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x 3

Vamos ver o que está acontecendo aí quando x tende ao infinito.

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x = ∞

lim x → ∞ ⁡ x 3 = ∞

Ok, as duas funções estão indo pro infinito. Então podemos aplicar a regra de L’Hospital de cara. Vamos começar calculando as duas derivadas:

d d x ln ⁡ x = 1 x

d d x x 3 = 3 x 2

Então o limite fica assim:

L = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x 3 = lim x → ∞ ⁡ 1 / x 3 x 2

Simplificando um pouco essa fração:

L = lim x → ∞ ⁡ 1 3 x 3 ⁡

E nesse caso, quando x tende ao infinito, o limite tende a zero (porque estamos dividindo a função por um valor muito grande!) então:

L = 0

Resposta

(a) lim x → 0 + ⁡ x ( x 1 / 4 )   = 1 .

(b) lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ x x 3 = 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln