Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Regra de L’Hospital

Calcule:

b   lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x

Passo 1

Se a gente substituísse esse cara ficaria assim:

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = 1 ∞

Nessas indeterminações de expoente a resolução é usar a relação entre exponencial e logaritmo:

a = e ln ⁡ a

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x

= lim x → + ∞ ⁡ e 2 x ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1

= lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 1 2 x

Vamos esquecer o e por enquanto e focar só no limite que está no expoente:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 1 2 x = 0 0

Indeterminação de quociente, vamos usar L’Hospital!

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 1 2 x → L ' H lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 ' 3 x - 2 3 x + 1 - 1 2 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 ' 3 x + 1 - 3 x - 2 3 x + 1 ' 3 x - 2 3 x + 1 3 x + 1 2 - 1 2 x 2

= lim x → + ∞ ⁡ - 2 x 2 3 3 x + 1 - 3 3 x - 2 3 x - 2 3 x + 1

= lim x → + ∞ ⁡ - 18 x 2 3 x - 2 3 x + 1

Passo 3

A partir daqui basta a gente notar que o grau do polinômio de cima é 2 e o de baixo também, sendo esse um limite de uma divisão de polinômios com x → + ∞ . O macete é dividir tudo em cima e embaixo por x 2 :

lim x → + ∞ ⁡ - 18 x 2 3 x - 2 3 x + 1

= lim x → + ∞ ⁡ - 18 ( x 2 ) 3 - 2 x 3 + 1 x ( x 2 )

= lim x → + ∞ ⁡ - 18 3 - 2 x 3 + 1 x

Os termos com x no denominador vão embora e só sobram constantes:

= lim x → + ∞ ⁡ - 18 3 - 2 x 3 + 1 x

= - 18 3 3 = - 18 9

= - 2

Passo 4

Agora, não acabou aí não! Lembra, o limite que a gente buscava era e elevado a esse mostro que acabamos de calcular. Assim, o resultado é

lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = e - 2

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = e - 2

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