Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule o limite

lim x → + ∞ ⁡ 1 + x 2 1 ln ⁡ x

Passo 1

Substituindo x → + ∞ no limite, caímos numa indeterminação “ ∞ 0 ”. Pra sair dessa vamos fazer o seguinte:

1 + x 2 1 ln ⁡ x = e ln ⁡ 1 + x 2 1 ln ⁡ x = e 1 ln ⁡ x ln ⁡ 1 + x 2 = e ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x

Aplicando o limite:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + x 2 1 ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ e ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x = e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x

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Passo 2

Agora nos sobrou calcular o limite

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x

Que dá numa indeterminação “ ∞ / ∞ ”, ou seja, dá pra aplicar l’Hôpital!

Daí vamos ter

lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x = lim x → + ∞ ⁡ 1 1 + x 2 2 x 1 x = lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 1 + x 2

Caímos de novo numa indeterminação “ ∞ / ∞ ”, então vamos de l’Hôpital de novo:

lim x → + ∞ ⁡ 2 x 2 1 + x 2 = lim x → + ∞ ⁡ 4 x 2 x = 4 2 = 2

Passo 3

Então o nosso limite lá do começo vai dar:

e lim x → + ∞ ⁡ ln ⁡ 1 + x 2 ln ⁡ x = e 2

Resposta

e 2

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