Exercícios Resolvidos de Regra de L’Hospital – Outras Indeterminações

Calcule os limites:

lim x → ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x

Passo 1

Vamos primeiro ver o que acontece na base quando x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 = l i m x → ∞ 3 x / x - 2 / x 3 x / x + 1 / x = l i m x → ∞ 3 - 2 / x 3 + 1 / x = 3 3 = 1

Dessa maneira:

lim x → ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x → 1 ∞  

Que é uma das indeterminações de L’Hôpital. Vamos tentar transformá-la numa indeterminação do tipo zero sobre zero ou infinito sobre infinito para derivar em cima e embaixo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para tal, vamos aplicar e elevado a ln:

lim x → ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = l i m x → ∞ e ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x

Como a função exponencial é continua, podemos jogar o limite para dentro da exponencial:

e l i m x → ∞ ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x

Passo 3

Vamos analisar agora o limite dentro do expoente e depois voltamos. Usando a propriedade do log:

log ⁡ a b = b ⋅ log ⁡ a

Temos:

l i m x → ∞ ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = l i m x → ∞ 2 x ⋅ ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1

Quando x → ∞ :

2 ⋅ l i m x → ∞ x ⋅ ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 → ∞ ⋅ ln ⁡ 1 = ∞ ⋅ 0

Jogando o x para o denominador e invertendo-o:

2 ⋅ l i m x → ∞ x ⋅ ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 = 2 ⋅ l i m x → ∞ ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 1 / x → 0 0

Chegamos na indeterminação que queríamos.

Passo 4

Podemos então aplicar L’Hôpital derivando em cima e embaixo. Usando a regra da cadeia:

2 ⋅ l i m x → ∞ ln ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 ' 1 / x ' = 2 ⋅ l i m x → ∞ 1 3 x - 2 / 3 x + 1 3 x - 2 3 x + 1 ' - 1 / x 2 =

- 2 ⋅ l i m x → ∞ x 2 ⋅ 3 x + 1 3 x - 2 ⋅ 3 x - 2 3 x + 1 '

Pela regra do quociente:

3 x - 2 3 x + 1 ' = 3 x - 2 ' 3 x + 1 - 3 x - 2 3 x + 1 ' 3 x + 1 2 = 3 3 x + 1 - 3 3 x - 2 3 x + 1 2 =

3 3 x + 1 - 3 x + 2 3 x + 1 2 = 3 3 3 x + 1 2 = 9 3 x + 1 2

Substituindo no limite:

… = - 18 ⋅ l i m x → ∞ x 2 ⋅ 3 x + 1 3 x - 2 ⋅ - 1 3 x + 1 2 = - 18 ⋅ l i m x → ∞ x 2 ⋅ 3 x + 1 3 x - 2 ⋅ 1 3 x + 1 2 =

- 18 ⋅ l i m x → ∞ x 2 3 x - 2 3 x + 1 = - 18 ⋅ l i m x → ∞ x 2 9 x 2 - 3 x - 2

Passo 5

Agora, temos simplesmente uma razão de polinômios com x → ∞ . Dividindo tudo pela maior potência:

= - 18 ⋅ l i m x → ∞ x 2 9 x 2 - 3 x - 2 = - 18 ⋅ l i m x → ∞ x 2 / x 2 9 x 2 / x 2 - 3 x / x 2 - 2 / x 2 =

- 18 ⋅ l i m x → ∞ 1 9 - 3 / x - 2 / x 2 = - 18 ⋅ l i m x → ∞ 1 9 - 0 - 0 = - 2

Tem que lembrar que esse limite é um expoente:

lim x → ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = e - 2

Resposta

lim x → ∞ ⁡ 3 x - 2 3 x + 1 2 x = e - 2

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