Calcule o seguinte limite usando a forma apropriada da regra de l’Hôpital (Deve exibir as formas indeterminadas):

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x tg ⁡ π x 2

Passo 1

Temos que

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x = 0

lim x → 1 + ⁡ tg ⁡ π x 2 = - ∞

Então caímos numa indeterminação 0 . ∞ . Vamos ter que manipular a expressão pra cair numa indeterminação onde dê pra usar l’Hôpital.

Passo 2

Vamos fazer o seguinte:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x tg ⁡ π x 2 = lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x 1 tg ⁡ π x 2 = lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x cotg ⁡ π x 2

Agora sim, indeterminação 0 / 0 podemos mandar l’Hôpital:

lim x → 1 + ⁡ ln ⁡ x cotg ⁡ π x 2 = lim x → 1 + ⁡ 1 x - cossec 2 ⁡ π x 2 . π 2

Passo 3

E isso vai dar:

lim x → 1 + ⁡ - 2 sen 2 ⁡ π x 2 π x = - 2 sen 2 ⁡ π 2 π . 1 = - 2 π

E aí está nosso limite! :)

Resposta

- 2 π

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