Calcule os seguintes limites, identificando o tipo de indeterminação, caso existam:

  1. lim x → 0 ⁡ arctg ⁡ x 2 e x - x - 1
  2. lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x

Passo 1

Sempre vamos começar uma questão de limites substituindo o valor que x tende, para verificarmos se há uma indeterminação ou não. Somente depois de verificado é que podemos discutir o que fazer. Portanto,

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x = ∞ ln ⁡ 1 - 1 ∞ = ∞ ln ⁡ 1 - 0 = ∞ ln ⁡ 1 = ∞ ⋅ 0

Agora sim. Temos uma indeterminação do tipo ∞ ⋅ 0 . Como aconteceu de obtermos uma indeterminação, precisamos utilizar alguma metodologia para resolvê-la.

Portanto, vamos utilizar a regra de L’Hospital. Para podermos utilizar esta regra na resolução de limites, temos que reorganizar a nossa função para conseguirmos uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ . Nós conseguimos isto fazendo o termo x , que vai tender ao infinito, passar para o denominador. Se nós fazemos isso, vamos conseguir algo do tipo:

∞ ⋅ 0 = 0 1 ∞ = 0 0

Esta é a ideia da coisa. Vamos confirmar aqui abaixo.

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x = lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 - 1 x 1 x = ln ⁡ 1 - 1 ∞ 1 ∞ = 0 1 ∞ = 0 0

Que é o que a gente deixou claro logo acima. Agora sim, podemos aplicar a regra de L’Hospital.

Relembrando, a regra de L’Hospital nos diz que:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f ' x g ' x

Isto é, podemos pegar a função do numerador ( ln ⁡ 1 - 1 x para esta questão) e do denominador ( 1 x para esta questão), derivarmos separadamente e depois fazer a divisão da derivada do numerador pela derivada do denominador.

É claro que isto só pode ser feito se houver uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ , conforme foi checado anteriormente. Caso isto não aconteça, temos que fazer alguma operação para que isto aconteça.

Passo 2

Bom, agora que confirmamos que podemos aplicar a regra de L’Hospital, vamos aplica-la. Começaremos derivando o numerador e o denominador. Portanto, se o numerador é f x = ln ⁡ 1 - 1 x , aplicando a regra da cadeia, temos:

f ' x = 1 1 - 1 x ⋅ 1 x 2 = 1 x - 1 x ⋅ 1 x 2 = x x 2 x - 1 = 1 x x - 1

Lembrando a vocês, a derivada da função mais fora ln ⁡ x , que é 1 x , aplicada a função de dentro 1 - 1 / x , vezes a derivada da função de dentro 1 - 1 / x , que é 1 / x 2 .

Agora, vamos derivar o numerador. Se ele é g x = 1 x = x - 1 / 2 , então,

g ' x = - 1 2 x x

Portanto, o nosso limite

lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ 1 - 1 x 1 x = lim x → ∞ ⁡ 1 x x - 1 - 1 2 x x = lim x → ∞ ⁡ - 2 x x x x - 1 = lim x → ∞ ⁡ - 2 x x - 1

Agora sim, nós substituímos a derivada e depois fizemos extremos e meios para reorganizar a função. Agora, temos que substituir o no lugar de x e verificar o resultado do limite. Logo,

lim x → ∞ ⁡ - 2 x x - 1 = - 2 ∞ ∞ - 1 = ∞ ∞

Eita, nova indeterminação! Temos que utilizar novamente a regra de L’Hospital.

Passo 3

Para aplicar novamente a regra de L’Hospital, vamos ter de derivar o numerador e o denominador. Derivando o nosso novo denominador h x = - 2 x , temos h ' x = - 1 / x .

Já para o denominador t x = x - 1 , a sua derivada é t ' x = 1 .

Substituindo esta relação no nosso limite, temos:

lim x → ∞ ⁡ - 1 x 1 = lim x → ∞ ⁡ - 1 x = - 1 ∞ = 0

E assim chegamos a resposta do nosso limite!

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x = 0

Resposta

lim x → ∞ ⁡ x ln ⁡ 1 - 1 x = 0

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln