Se um objeto de massa m é solto a partir do repouso, um modelo para sua velocidade v após t

segundos, levando-se em conta a resistência do ar, é

v = v ( t ) = m g c 1 - e - c t m

onde g é a aceleração da gravidade e c é uma constante positiva. Para um valor fixo de t, use a Regra de L’Hospital para calcular l i m c → 0 + v ( t ) , o que você pode concluir sobre a velocidade de um objeto caindo no vácuo?

Passo 1

Eaew, belezinha?

O enunciado da questão nos pede para utilizar a regra de L’Hospital para calcular o limite da velocidade de um objeto quando c → 0 . Mas por que usar a regra de L’Hospital para esse limite? Bem, se você der uma olhada na expressão para a velocidade, vai perceber que, quando c = 0, temos que uma indeterminação dada pelo zero no denominador e no numerador, pois e 0 = 1 . E como a gente usa a regra de L’Hospital para resolver esse problema? Basta derivar a função do numerador e a função do denominador em relação a c. Então vamos lá!

Passo 2

Bem, como a função do denominador é simplesmente c, a gente sabe que a derivada dela em relação a c é 1. Agora, temos que derivar h ( c )   = m g 1 - e - c t m em relação à c. Se definirmos as funções f ( u ) = m g × ( 1 - e u ) e u ( c ) = - c t m , temos que suas derivadas são d f d u = -   m g × e u e d u d c = - t m e, assim, podemos utilizar a regra de cadeia para derivar h(c) escrevendo-a como h ( c ) = f ( u ( c ) ) . Então, a derivada de h(c) é

h ' ( c ) = d h d c = d f d u × d u d c = m g × t m e - c t m = g t e - c t m

Então, o limite que queremos calcular é simplesmente

l i m c → 0 v ( c ) = l i m c → 0 h ( c ) =   g t e - c t m = g t

Essa é justamente a velocidade que o objeto teria se não houvesse a resistência do ar: nesse caso, o objeto estaria sujeito apenas à força da gravidade e sua velocidade aumentaria linearmente com a passagem do tempo, como constatado pelo limite v = gt.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l i m c → 0 + v ( t ) = g t

Exercícios de Livros Relacionados

Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → ∞ x 1 / l nx
Determine o limite:underset(x - 0^+)(lim) (1 + (1)/(x))^x
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) ((x^2 + 1)/(x + 2))^((1)/(x))
Use a regra de L’Hopital para determinar o seguinte exercício: l i m x → 0 + x 2 l nx
Encontre o limite. Use a regra de L’Hôspital quando for apropriado. Se houver um método mais elementar, considere utilizá-lo. Se a regra de L’Hôspital não se aplicar, o porquê. l i m x → 0 x x - 1 ln