Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido interior ao cilindro x 2 + y 2 = 4 x , sendo delimitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 16 e pelo plano z = 0 .

Passo 1

Olá meu amigo, Yuri aqui e agora iremos calcular o volume do sólido dado. Iremos utilizar aqui a integração tripla, e antes de tudo vamos dar uma olhada no nosso solido.

Basicamente o que acontece é que superiormente estamos limitados pela esfera, inferiormente pelo plano e lateralmente pelo cilindro.

Passo 2

A equação do cilindro deslocado pode também ser dado por

x 2 + y 2 = 4 x

x 2 - 4 x + y 2 = 0

x 2 - 4 x + 4 - 4 + y 2 = 0

x - 2 2 + y 2 = 4

Para facilitar a minha vida e a sua, iremos trabalhar com coordenadas polares:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

O ângulo θ é o ângulo que varre a região do cilindro deslocado,

Então - π 2 ≤ θ ≤ π 2 . O Nosso raio r é dado por

x 2 + y 2 = 4 x

r 2 = 4 r cos ⁡ θ

r = 4 cos ⁡ θ

0 ≤ r ≤ 4 cos ⁡ θ

Agora falta parametrizar a esfera

x 2 + y 2 + z 2 = 16

z = 16 - r 2

E como somo limitados pelo plano z = 0

0 ≤ z ≤ 16 - r 2

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ ∫ 0 16 - r 2 r d z d r d θ

Passo 3

Calculando nossa integral

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ ∫ 0 16 - r 2 r d z d r d θ

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 4 cos ⁡ θ r 16 - r 2 d r d θ

Chamando de 16 - r 2 = u e - 2 r = d u d r e os limites novos, u = 16 e u = 16 - 16 cos 2 ⁡ θ

- 1 2 ∫ u d u

- 1 2 2 3 u 3 2 16 16 - 16 cos 2 ⁡ θ

- 1 2 2 3 u 3 2 16 16 sin 2 ⁡ θ

- 1 2 [ 128 3 sin 3 ⁡ θ - 128 3 ]

Simplificando

- 64 sin 3 ⁡ θ - 1 3

Continuando

∫ - π 2 π 2 - 64 sin 3 ⁡ θ - 1 3 d θ

- 64 3 ∫ - π 2 π 2 ( sin 2 ⁡ θ - 1 ) d θ

- 64 3 ∫ - π 2 π 2 ( sin 2 ⁡ θ ) d θ + 64 3 ∫ - π 2 π 2 ( d θ )

Como a função seno é impar, a primeira integral é zero, então

64 3 π 2 - - π 2

V = 64 3 π

Resposta

V = 64 3 π

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