Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido continho no coze z = x 2 + y 2 , limitado pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1 .

Passo 1

Para calcular o volume do sólido com a imagem acima, que está contido na região delimitada pela superfície ( z = x 2 + y 2 ) e pela esfera ( x 2 + y 2 + z 2 = 1 ) , podemos usar integração tripla. Vamos usar coordenadas esféricas para simplificar o cálculo, já que a região de integração possui simetria esférica.

As coordenadas esféricas são definidas da seguinte forma:

1. ( r ) é a distância do ponto ( x , y , z ) à origem, ou seja, ( r = x 2 + y 2 + z 2 ) .

2. ( θ ) é o ângulo polar, que varia de 0 a ( π ) .

3. ( ϕ ) é o ângulo azimutal, que varia de 0 a ( 2 π ) .

Vamos escrever as equações de conversão entre coordenadas cartesianas ( x , y , z ) e coordenadas esféricas ( r , θ , ϕ ) :

[ x = r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ ]

[ y = r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ ]

[ z = r cos ⁡ θ ]

Passo 2

Agora, precisamos encontrar os limites de integração para ( r ) , ( θ ) , e ( ϕ ) . Primeiro, vamos lidar com ( r ) . Sabemos que a esfera tem raio 1, então ( r ) varia de 0 a 1.

Para ( θ ) , podemos ver que a superfície ( z = x 2 + y 2 ) se estende de ( θ =   0 ) a θ = π 4 o que define o ponto de interseção entre a superfície e a esfera). Portanto, os limites de integração para ( θ ) são de 0 a θ 4 .

Para ( ϕ ) , como não há restrições quanto a ( ϕ ) , ele varia de 0 a ( 2 π ) .

Agora, podemos escrever a integral tripla para calcular o volume:

[ V = ∭ R d V ]

[ V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 1 r 2 sin ⁡ θ d r d θ d ϕ ]

Agora, podemos calcular essa integral:

[ V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 1 3 r 3 0 1 sin ⁡ θ d θ d ϕ ]

[ V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 1 3 sin ⁡ θ d θ d ϕ ]

[ V = ∫ 0 2 π - 1 3 cos ⁡ θ 0 π 4 d ϕ ]

[ V = ∫ 0 2 π - 1 3 cos ⁡ π 4 + 1 3 cos ⁡ 0 d ϕ ]

[ V = ∫ 0 2 π - 2 6 + 1 3 d ϕ ]

[ V = - 2 6 + 1 3 ∫ 0 2 π d ϕ ]

[ V = - 2 6 + 1 3 ⋅ 2 π ]

[ V = - 2 3 + 2 3 π ]

Resposta

[ V = - 2 3 + 2 3 π ]

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