Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido interseção da esfera x² + y² + z² = 2com o paraboloide z = x 2 + y 2 , interior a este.

Passo 1

Para encontrar a interseção do sólido limitado pela esfera ( x 2 +   y 2 +   z 2 =   2 ) e pelo paraboloide ( z   =   x 2 +   y 2 ) no interior do paraboloide, você precisa determinar os limites de integração apropriados e, em seguida, calcular o volume da região de interseção usando uma integral tripla. A equação da esfera é a mesma que a equação de uma esfera com raio 2 centrada na origem.

Vamos usar coordenadas esféricas para facilitar o cálculo, pois a simetria da esfera e do paraboloide se encaixa bem com essas coordenadas.

As coordenadas esféricas são definidas da seguinte forma:

x = r sin ⁡ θ cos ⁡ ϕ

y = r sin ⁡ θ sin ⁡ ϕ

z = r cos ⁡ θ

Nesse caso, ( r ) representa o raio esférico, ( θ ) é o ângulo polar (varia de 0 a ( π ) ) , e ( ϕ ) é o ângulo azimutal (varia de 0 a ( 2 π ) ).

Agora, vamos encontrar os limites de integração:

1. O limite inferior de ( r ) é 0, pois estamos no interior do paraboloide.

2. O limite superior de ( r ) é a interseção da esfera e do paraboloide. Substituindo a equação da esfera na equação do paraboloide:

[ r 2 cos 2 ⁡ θ = r 2 sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ ϕ + r 2 sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ ϕ ]

Isso simplifica para:

[ r 2 cos 2 ⁡ θ = r 2 sin 2 ⁡ θ ]

Dividindo ambos os lados por ( r 2 ) e simplificando, obtemos:

[ cos 2 ⁡ θ = sin 2 ⁡ θ ]

Como estamos interessados no interior do paraboloide, ( θ ) varia de 0 a ( π 4 ) .

3. Para ( ϕ ) , não há restrições especiais, então varia de 0 a ( 2 π ) .

Agora podemos calcular o volume usando uma integral tripla:

[ V = ∭ D r 2 sin ⁡ θ   d r   d θ   d ϕ ]

onde \(D\) representa a região de interseção nos limites de integração que encontramos acima.

Portanto, o volume é dado por:

[ V = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 4 ∫ 0 2 r 2 sin ⁡ θ   d r   d θ   d ϕ ]

Passo 2

∫ 0 2 r 2 sin ⁡ θ = 2 2 3 sin ⁡ θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 2 2 3 sin ⁡ θ d θ d ϕ

2 2 3 ∫ 0 π 4 sin ⁡ θ d θ

2 2 3 - cos ⁡ θ 0 π 4

2 2 3 - 2 2 + 1

∫ 0 2 π 2 2 3 - 2 2 + 1 d ϕ

V = 4 π 3 ( 2 - 1 )

Resposta

V = 4 π 3 ( 2 - 1 )

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