Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Área entre Curvas

Considere a região R delimitada pela curva y = log 3 ⁡ x e pelas retas x = 3 e y = 0 :

a Esboce a região R .

b Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região R ao redor da reta x = 5 .

Passo 1

a Para saber o esboço das figuras precisamos conhecer todas as curvas e seus pontos de encontro. O gráfico de uma função logarítmica é conhecido, é um gráfico que temos que saber de cabeça. Já as retas x = 3 e y = 0 sabemos que são retas paralelas aos eixos principais (a primeira é paralela ao eixo y passando em x = 3 e a segunda é o próprio eixo x ).

Para pensar onde elas se encontram basta jogar os valores das retas na equação do logaritmo:

x = 3 → y = log 3 ⁡ 3 = 1

y = 0 → 0 = log 3 ⁡ x ; x = 1

Os pontos de interseção serão 3,1 e 1,0 . O esboço de R vai ficar assim:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b Vou redesenhar a região com o eixo de rotação:

Repara, a seta de cima representa a distância até o pedaço que limita a região pelo lado mais perto do eixo, a maior seta limita pelo lado mais longe. A rotação da região R em torno desse eixo é a mesma coisa que a rotação da logarítmica em torno desse eixo menos a rotação da reta x = 3 , que vai gerar um cilindro. Pela situação, vou optar pelo método das seções transversais, que parece que vai ter uma integral mais fácil. Para isso tenho que inverter a função e chamar de raio a distância de cada uma das curvas até o eixo y . O y da região limita-se de 0 até 1 , dessa forma:

V = ∫ 0 1 π R 1 2 - R 2 2 d y

Onde,

log 3 ⁡ x = y → x = 3 y

R 1 = 5 - 3 y   ; R 2 = 5 - 3 = 2

V = ∫ 0 1 π 5 - 3 y 2 - 2 2 d y

Passo 3

Resolvendo:

V = ∫ 0 1 π 5 - 3 y 2 - 2 2 d y

= ∫ 0 1 π 25 - 10 3 y + 3 2 y - 4 d y = ∫ 0 1 π 21 - 10 3 y + 3 2 y d y

= π 21 y - 10 3 y ln ⁡ 3 + 3 2 y 2 ln ⁡ 3 [ 1 0

= π 21 1 - 10 3 1 ln ⁡ 3 + 3 2 2 ln ⁡ 3 - π 21 0 - 10 3 0 ln ⁡ 3 + 3 0 2 ln ⁡ 3

= π 21 - 30 ln ⁡ 3 + 9 2 ln ⁡ 3 - π - 10 ln ⁡ 3 + 1 2 ln ⁡ 3

= π 21 - 16 ln ⁡ 3   u . v .

Resposta

V = π 21 - 16 ln ⁡ 3   u . v .

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