Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

Cálculo de Volumes através de Integrais

Considere a região plana delimitada pela curva y = 1 1 + x , pelos eixos coordenados e pela reta x = 4 . Calcule o volume do sólido gerado pela rotação dessa região em torno do eixo x .

Passo 1

Repara, a região é limitada pelos eixos x e y , pela reta x = 4 , que é uma paralela ao eixo y que passa no ponto 4,0 , e a função y = 1 1 + x . O domínio dessa função pede x ≥ 0 , com o valor em x = 0 sendo f 0 = 1 . Repara que não precisamos saber como é o desenho dessa curva, já que a integral não será afetada por seu desenho ou pelo esboço. Isso por que esse é o único gráfico que estudamos na questão e estamos girando no eixo x , o que não gera nenhum tipo de problema, uma vez que o gráfico de y = 1 1 + x será sempre maior que 0 , já que:

x ≥ 0 → 1 + x ≥ 1

Assim, fiz o meu esboço para uma curva qualquer do y = 1 1 + x :

Inventei o meu próprio desenho para a curva, já que não vai mudar em nada na integral. :P

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Giramos em torno do eixo x , o que pede como melhor método o das seções transversais mesmo. Vendo isso, a integral que gera o volume pedido vai ser essa aqui, olha:

V = V = ∫ a b π f x 2 d x

= ∫ 0 4 π 1 1 + x 2 d x

Essa integral não lembra nenhum método de integração de primeira, por isso vou tentar forçar uma substituição para mudar a cara dela:

u = x → d u = d x 2 x

u i n f = x i n f = 0 = 0

u s u p = x s u p = 4 = 2

Acontece que ali na questão nós não temos esse d u achado aqui em cima. Vamos forçar ele a aparecer então:

d x = 2 x d u = 2 u d u

Já que u = x . Substituindo na integral, ficamos assim:

∫ 0 2 π 1 1 + u 2 2 u d u

= π ∫ 0 2 2 u 1 + u 2 d u = π ∫ 0 2 2 u 1 + 2 u + u 2 d u

= π ∫ 0 2 2 u + 2 - 2 1 + 2 u + u 2 d u

= π ∫ 0 2 2 u + 2 1 + 2 u + u 2 d u - π ∫ 0 2 2 1 + u 2 d u

Passo 3

Para a primeira integral, podemos dizer que y = 1 + 2 u + u 2 , o que geraria exatamente um d y valendo ( 2 u + 2 ) .

y = 1 + 2 u + u 2 → d y = 2 u + 2 d u

y i n f = 1 + 2 u i n f + u i n f 2 = 1 + 2 ( 0 ) + 0 2 = 1

y s u p = 1 + 2 u s u p + u s u p 2 = 1 + 2 ( 2 ) + 2 2 = 9

π ∫ 0 2 2 u + 2 1 + 2 u + u 2 d u = π ∫ 1 9 d y y

= π ln ⁡ y [ 9 1 = π ln ⁡ 9 - ln ⁡ 1

= π 2 ln ⁡ 3 - 0

= 2 π ln ⁡ 3

Para a segunda, se chamarmos 1 + u de uma variável w teremos:

w = 1 + u → d w = d u

w i n f = 1 + u i n f = 1 + 0 = 1

w s u p = 1 + u s u p = 1 + 2 = 3

π ∫ 1 3 2 1 + u 2 d u = 2 π ∫ 1 3 d w w 2

= 2 π - 1 w [ 3 1 = 2 π - 1 3 - - 1

= 4 π 3

Passo 4

Fazendo agora a diferença entre os dois resultados:

π ∫ 0 2 2 u + 2 1 + 2 u + u 2 d u - π ∫ 0 2 2 1 + u 2 d u

= 2 π ln ⁡ 3 - 4 π 3

= 2 π ln ⁡ 3 - 2 3

Finalmente, esse é nosso volume!

Resposta

V = 2 π ln ⁡ 3 - 2 3   u . v .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas