Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2014.1 – 3

Considere um sólido com base circular de raio 2 . As secções transversais paralelas, perpendiculares à base são triangulares. Triângulos estes, isósceles com medidas de base e altura iguais. Encontre o volume deste sólido.

Passo 1

Para fazermos esse volume vamos tentar achar uma equação para essas áreas transversais, vamos dar uma interpretada gostosa no enunciado primeiro.

Ele disse que a base é um círculo de raio 2 , a equação da base vai ser

x 2 + y 2 = 4

A parte confusa a vera aqui é essa história de secções transversais paralelas, perpendiculares à base. Isso nada mais é que se cortarmos a base, perpendicularmente esse sólido, vamos encontrar triângulos isósceles.

A ideia é mais ou menos assim

Aqui cortamos em um x qualquer. Se cortarmos em um y , mantendo paralelo ao eixo x a base vai ser 2 x , meio louco isso né? Vamos olhar para a circunferência.

Essa linha vermelha é a base do triângulo que ele disse. Para cada valor de y vamos ter uma área diferente, então podemos perceber que

A y = á r e a   d o   t r i â n g u l o

Mas a área do triângulo é base vezes altura sobre 2 , como a base e altura são iguais vamos ter

A y = 2 x . 2 x 2 = 4 x 2 2 = 2 x 2

Mas queremos uma função de y , então vamos usar a equação da circunferência da base que relaciona x e y

x 2 + y 2 = 4

x 2 = 4 - y 2

A y = 2 4 - y 2

O valor de y vai da parte de baixo da circunferência até a parte de cima, ou seja, vai de - 2 até 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos fazer a integral do volume, temos a fórmula da área da secção transversal, e seu limites, a integral vai ser

V = ∫ - 2 2 A y d y

V = ∫ - 2 2 2 4 - y 2 d y = ∫ - 2 2 8 - 2 y 2 d y = 8 y - 2 y 3 3 x = - 2 2

V = 8.2 - 2 . 2 3 3 - 8 - 2 - 2 - 2 3 3 = 16 - 16 3 - - 16 + 16 3

V = 48 - 16 3 - - 48 + 16 3 = 32 3 - - 32 3 = 32 3 + 32 3

V = 64 3

Resposta

V = 64 3

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