Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volume pelas Seções Transversais

UNICAMP - Cálculo 1 - P3 2008.1 a – 3

Encontre o volume do sólido S cuja base é a região parabólica

S = { ( x , y ) | x 2 ≤ y ≤ 1 }

e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.

Passo 1

Olha, a princípio essa questão parece meio doida visto que a única real informação é a região da base. Vamos começar trabalhando então com ela e depois interpretamos o resto, belê? Saca só, do enunciado e de S , podemos tirar:

y ≥ x 2 y ≤ 1

Agora temos como ver melhor o esboço. A região está de alguma forma delimitada pela parábola x 2 e pela constante 1 . No gráfico, isso fica:

Como a região que eu quero é a abaixo da constante e acima da curva, vamos ter a interseção entre as duas regiões:

O que dá:

Show, entendemos a região da base. Segura essa informação na cachola que vamos precisar dela nos próximos passos.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora a gente parte pra interpretação de texto. Olha o que o enunciado disse:

“ [ . . . ]   s e ç õ e s   t r a n s v e r s a i s   p e r p e n d i c u l a r e s   a o   e i x o   y   s ã o   q u a d r a d a s . ”

Então pra entender bem, vamos fazer vários cortes perpendiculares ao eixo y em S :

E saca só! Pra cada corte y , o comprimento C do segmento marcado vai ser do – x até o x correspondente aquela altura de corte y . Veja por exemplo o corte em y = 1 . Como y = x 2 temos:

y = 1 = x 2

x = ± 1

C = 1 - - 1 = 2

Agora vamos colocar isso em função de y uma vez que os cortes estão feitos ao longo desse eixo:

y = x 2

x = ± y

C = y - - y = 2 y

Ok, mas e daí? Onde que isso nos leva!? Oras meus caros! Esse comprimento que calculamos nada mais é do que o lado de um quadrado! Isso porque as seções transversais, segundo o enunciado, são quadradas. Como conhecemos áreas de quadrados, a área da seção transversal vai ser então:

A = A y = C 2 = 2 y 2 = 4 y

Maravilha, então conseguimos modelar   A y . E sabemos os limites de integração também porque eles são os valores de y que fecham a região da base do sólido: o limite inferior 0 e o limite superior 1 . Da formulinha de volume por seções traversais, temos:

V = ∫ 0 1 A y d y

V = ∫ 0 1 4 y d y = 2 y 2 y = 0 y = 1

V = 2   u . v

Resposta

V = 2   u . v

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