Para cada n > 0 , seja Ω n a região limitada pelo gráfico de y = x n , o eixo x e a reta x = 1 . Se W n é o volume obtido girando Ω n em torno do eixo x , e V n é o volume do sólido obtido girando-se Ω n em torno do eixo y , determine lim n → ∞ ⁡ V n W n .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular lim n → ∞ ⁡ V n W n , sabendo que W n é o volume obtido girando Ω n em torno do eixo x e que V n é o volume do sólido obtido girando-se Ω n em torno do eixo y . A região é dada pelo gráfico de y = x n , o eixo x e a reta x = 1 , com n > 0 , então a região tá no primeiro quadrante.

Pra determinar V n e W n , precisamos lembrar que quando temos uma região rotacionando em torno do eixo x , usamos a integral na forma:

W n = π ∫ a b f x 2   d x

E quando nossa região rotaciona em torno do eixo y , usamos:

V n = π ∫ a b A ( y )   d y

Isso porque a variável independente tem que ser a mesma do eixo em torno do qual nós fazemos a rotação. Usando o resultado dessas integrais, nós conseguimos calcular o limite, fazendo n tender a infinito.

Vamos lá!

Passo 2

Sabendo que nossa região é limitada por y = x n , y = 0 e x = 1 , e usando a fórmula do cálculo do volume de rotação em torno do eixo x , vamos ter:

W n = π ∫ 0 1 x n 2 d x

Usando a regrinha da potência na integração, temos:

W n = π x 2 n + 1 2 n + 1 0 1

Aplicando o intervalo de integração:

W n = π 2 n + 1

Da mesma forma, fazendo a nossa região girar em torno do eixo y , vamos apenas colocar a função como uma função de y e escrever a integral de volume:

V n = π ∫ 0 1 1 2 - y 1 n 2 d y

Integrando e aplicando os limites de integração, temos:

V n = 2 π n + 2

Passo 3

Agora, com W n = π 2 n + 1 e V n = 2 π n + 2 , podemos escrever o limite:

lim n → ∞ ⁡ V n W n

lim n → ∞ ⁡ 2 π n + 2 ∙ 2 n + 1 π = lim n → ∞ ⁡ 4 n + 2 n + 2

Dividindo todos os termos por n , vamos ter:

lim n → ∞ ⁡ 4 + 2 n 1 + 2 n

Assim, quando n → ∞ , temos 2 n → 0 . E o nosso resultado será:

4 + 0 1 + 0 = 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim n → ∞ ⁡ V n W n = 4

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