Calcule ∫ ∫ ∫ V x 2 + y 2 + z 2 d x d y d z ,   onde V é o solido limitado por x 2 + y 2 + z 2 = 2 z ,   z = x 2 + y 2   e   z = 3 ( x 2 + y 2 ) .

Passo 1

Olá meu amigo, tudo bem? Pronto para calcular uma integral tripla marota? Espero que sim viu, antes de tudo eu quero te mostrar a região V, importante sempre compreender bem qual é a região que iremos integrar para não erramos nada.

A nossa região está limitada por os cones e dentro da esfera.

Passo 2

Para calcular a integral tripla ( ∫ ∫ ∫ V x 2 + y 2 + z 2   d x d y d z ) , onde ( V ) é o sólido limitado pelas superfícies ( x 2 + y 2 + z 2 = 2 z ) , ( z = x 2 + y 2 ) e ( z = 3 x 2 + y 2 ) , vamos usar coordenadas esféricas. As coordenadas esféricas são úteis quando lidamos com superfícies esféricas, como a que temos aqui.

As coordenadas esféricas são definidas da seguinte forma:

[ x = r sin ⁡ ϕ cos ⁡ θ ]

[ y = r sin ⁡ ϕ sin ⁡ θ ]

[ z = r cos ⁡ ϕ ]

onde ( r ) é o raio, ( ϕ ) é o ângulo polar que varia de 0 a ( π ) , e ( θ ) é o ângulo azimutal que varia de 0 a ( 2 π ) .

Vamos começar a calcular a integral na nova base de coordenadas. Primeiro, precisamos encontrar os limites de integração em termos de ( ϕ ) e ( θ ) .

1. A superfície ( x 2 + y 2 + z 2 = 2 z ) pode ser reescrita como ( r 2 = 2 r cos ⁡ ϕ ) , o que implica ( r = 2 cos ⁡ ϕ ) .

2. A superfície ( z = x 2 + y 2 ) corresponde a ( r cos ⁡ ϕ = r sin ⁡ ϕ ) , o que implica ( tan ⁡ ϕ = 1 ) , ou seja, ( ϕ = π 4 ) .

3. A superfície ( z = 3 x 2 + y 2 ) corresponde a ( r cos ⁡ ϕ = 3 r sin ⁡ ϕ ) , o que implica ( tan ⁡ ϕ = 1 3 ) , ou seja, ( ϕ = π 6 ) .

Portanto, os limites de integração serão:

[ θ :   0   ≤ θ ≤ 2 π ]

[ ϕ : π 6 ≤ ϕ ≤ π 4 ]

[ r : 0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ ϕ ]

Agora, podemos calcular a integral usando coordenadas esféricas. A expressão ( x 2 + y 2 + z 2 ) se torna ( r ) nas coordenadas esféricas. Portanto, a integral tripla se torna:

[ ∫ 0 2 π ∫ π / 6 π / 4 ∫ 0 2 cos ⁡ ϕ r 3 sin ⁡ ϕ   d r   d ϕ   d θ ]

Agora, podemos calcular essa integral:

[ ∫ 0 2 π ∫ π / 6 π / 4 r 4 4 0 2 cos ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ   d ϕ   d θ ]

[ ∫ 0 2 π ∫ π / 6 π / 4 16 cos 4 ⁡ ϕ 4 sin ⁡ ϕ   d ϕ   d θ ]

Agora, integramos em relação a ( ϕ ) :

∫ π 6 π 4 4 cos 4 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ d ϕ

Se u = cos ⁡ ϕ e d u d t = - sin ⁡ ϕ

4 ∫ u 4 d u

4 ∙ u 5 5

Voltando para o cosseno

4 5 cos 5 ⁡ π 4 - 4 5 cos 5 ⁡ π 6

4 5 ∙ 2 8 - 4 5 ∙ 9 3 32

Agora iremos continuar a nossa integral do volume

∫ 0 2 π 4 5 ∙ 2 8 - 4 5 ∙ 9 3 32 d θ

2 π ( 4 5 ∙ 2 8 - 4 5 ∙ 9 3 32 )

Resposta

2 π ( 4 5 ∙ 2 8 - 4 5 ∙ 9 3 32 )

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d