Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta y = - 1 , da região limitada pelas curvas f x = 2 + cos ⁡ x e g x = 2 - cos ⁡ x , para x ∈ [ - π / 2 ,   π / 2 ] .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y = - 1 , da região limitada pelas curvas x = 2 + cos ⁡ x , g x = 2 - cos ⁡ x , x = - π 2 e x = π 2 . Mas que região é essa? Vamos dar uma olhadinha no gráfico:

Nossa região é essa aí em amarelo e é ela que vai girar em torno da reta em lilás. Nesse caso, temos duas curvas girando em torno de uma reta paralela ao eixo x , quando isso acontece precisamos considerar que os raios de rotação, externo R E e interno R I , são dados pelas distâncias de cada curva até o eixo de revolução, que aqui é y = - 1 . Sendo assim, vamos ter:

R E = f x - L = 2 + cos ⁡ x - ( - 1 )

R I = g x - L = 2 - cos ⁡ x - ( - 1 )

E a nossa integral de volume, vai ser dada por:

V = π ∫ a b R E 2 - R I 2   d x

Então, vamos substituir os raios e calcular a integral. Vamos lá!

Passo 2

Conforme vimos no passo anterior, vamos ter:

π ∫ a b f x - L 2 - g x - L 2 d x

Substituindo as funções no integrando junto com o eixo de revolução, no intervalo - π 2 , π 2 , temos:

π ∫ - π 2 π 2 2 + cos ⁡ x - ( - 1 ) 2 - 2 - cos ⁡ x - ( - 1 ) 2 d x

π ∫ - π 2 π 2 3 + cos ⁡ x 2 - 3 - cos ⁡ x 2   d x

Expandindo esses produtos notáveis, vai ficar:

π ∫ - π 2 π 2 9 + 6 cos ⁡ x + cos 2 ⁡ x - 9 + 6 cos ⁡ x - cos 2 ⁡ x d x

Simplificando:

π ∫ - π 2 π 2 12 cos ⁡ x d x

Colocando a constante pra fora da integral:

12 π ∫ - π 2 π 2 cos ⁡ x d x

Integrando:

12 π sin ⁡ x - π / 2 π / 2

Aplicando os intervalos de integração:

12 π sin ⁡ π 2 - sin ⁡ - π 2

12 π 1 - - 1

= 24 π

Encontramos nosso volume.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 2 4 π

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