Considere o sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x , da região limitada pela parábola x 2 = 4 a y e a reta y = a , com a > 0 . Determine o valor de a se o volume deste sólido é 50 π .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente considerar o sólido gerado pela rotação, em torno do eixo x , da região limitada pela parábola x 2 = 4 a y e a reta y = a , com a > 0 e determinar o valor de a . Mas que região é essa? Bom, se a gente considerar a = 1 , vamos ter isso aqui:

Como a é sempre positivo ( a > 0 ), o que pode mudar no gráfico é a reta ser mais pra cima e a parábola ser mais aberta ou mais fechada. Mas de qualquer forma, a gente consegue visualizar a região, o que é importante.

Nós sabemos que y = a e y = x 2 4 a vão girar em torno do eixo x e gerar um sólido de volume V = 50 π . Quando duas curvas giram em torno do eixo x , nós precisamos considerar que o volume do sólido será dado pela diferença entre o volume da região maior, de raio R E , e o volume da região menor, de raio R I . Sendo assim, temos:

V = π ∫ a b R E 2 - R I 2   d x

No nosso caso, R E é a função que está por cima, y = a , e R I é a função que está abaixo, y = x 2 4 a . Então, vamos substituir os dados calcular a integral. Vamos lá!

Passo 2

Antes de substituir os raios e o volume na integral, vamos encontrar o intervalo de integração [ a ,   b ] , igualando as equações das curvas:

x 2 4 a = a

x 2 = 4 a 2

Tirando a raiz dos dois lados:

x = ± 2 a

Então, nosso intervalo será [ - 2 a ,   2 a ] . Substituindo tudo na integral de volume, temos:

V = π ∫ a b R E 2 - R I 2   d x

V = π ∫ - 2 a 2 a a 2 - x 2 4 a 2   d x = π ∫ - 2 a 2 a a 2 - x 4 16 a 2   d x

Repare que a é uma constante e a gente integra em relação a x . Então, vamos ter:

V = π a 2 x - 1 16 a 2 x 5 5 - 2 a 2 a

Aplicando os intervalos de integração:

V = π a 2 2 a - a 2 - 2 a - 1 16 a 2 2 a 5 5 - - 2 a 5 5  

V = π 4 a 3 - 64 a 3 80 = 16 π a 3 5

Mas o enunciado nos diz que V = 50 π . Então, temos:

16 π a 3 5 = 50 π

Isolando a e tirando a raiz cúbica:

a 3 = 125 8 → a = 5 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a = 5 2

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