Determine o comprimento da curva y   = cosh ⁡ x ,   - 3   ≤   x   ≤   4 .

Passo 1

O comprimento de uma curva no intervalo ( a ≤   x ≤   b ) pode ser calculado usando a fórmula da integral do comprimento de arco:

[   L   =   ∫ a b 1 + d y d x 2   d x   ]

Para a curva y = c o s h x no intervalo - 3 ≤ x ≤ 4 , primeiro precisamos calcular a derivada d y / d x da função y em relação a x :

y = c o s h x

d y d x = sinh ⁡ ( x )

Passo 2

Agora, substituindo esses valores na fórmula do comprimento de arco:

L   =   ∫ - 3 4 1 + sinh 2 ⁡ ( x ) d x

Simplificando o integrando:

  L   =   ∫ - 3 4 cosh 2 ⁡ ( x ) d x  

L   =   ∫ - 3 4 c o s h x d x

Para resolver a integral, você pode usar a regra de integração direta da função \(\cosh(x)\):

L = sinh ⁡ x - 3 4  

L = s i n h 4 - s i n h - 3

Passo 3

Lembre-se de que sin ⁡ ( - x ) = - sinh ⁡ ( x ) então:

  L   =   s i n h ( 4 )   +   s i n h ( 3 )

Agora, você pode usar as propriedades trigonométricas hiperbólicas para calcular os valores de s i n h 4   e   s i n h ( 3 )

Aproximadamente:

sinh ⁡ ( 4 ) ≈ 27,29

sinh ⁡ ( 3 ) ≈ 10,02

Portanto, o comprimento da curva y = cosh ⁡ ( x ) no intervalo - 3 ≤   x ≤   4 é aproximadamente:

L ≈   27,29 + 10,02

L ≈ 37,31

Resposta

L = s i n h 4 - s i n h - 3

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