Determine o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y , da região limitada pela curva y = e x e pelas retas x = 0 , x = 1 e y = 0 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y , da região limitada pela curva y = e x e pelas retas x = 0 , x = 1 e y = 0 . Mas que região é essa? Vamos dar uma olhadinha no gráfico:

Nossa região é essa aí em amarelo e é ela que vai girar em torno do eixo y . Nesses casos, de rotação em torno do eixo y , nós podemos usar o método dos anéis para calcular o volume de rotação da região na forma:

V = ∫ a b π f y 2 - π g y 2   d y

Repara que y = f x = e x , mas na fórmula temos um f ( y ) . Então, temos que escrever x em função de y . Além disso, repare que o raio externo do nosso anel é a distância de x = 1 até o eixo, então vamos usar essa diferença no integrando.

Vamos lá!

Passo 2

No método dos anéis, a gente sempre tem que considerar o raio externo menos o raio interno. Como a gente já viu, x = 1 é o nosso raio externo, ele vai tá variando de 0 até a interseção com a curva y = e x , que vai acontecer em y = e . Então, temos 0 ≤ y ≤ e .

E o nosso raio interno vai ser dado pela curva em função de y , ou seja:

y = e x → x = ln ⁡ y

Isso porque o logaritmo é a função inversa da exponencial, beleza? Repare no gráfico que a curva começa em y = 1 e vai até y = e , na região em amarelo.

Juntando todas essas informações, podemos escrever nossa integral para o volume de rotação na forma:

∫ 0 e π 1 2 d y - π ∫ 1 e ln ⁡ y 2 d y

Então, integramos uma constante na primeira integral e, usando integração por partes na segunda, encontramos:

π y 0 e - π 2 y + y ln 2 ⁡ y - 2 y ln ⁡ y 1 e

Aplicando os intervalos de integração:

π e - π [ 2 e + e ln 2 ⁡ e - 2 e ln ⁡ e - 2 + ln 2 ⁡ 1 - 2 ln ⁡ 1 ]

Como ln ⁡ e = 1 e ln ⁡ 1 = 0 , temos:

π e - 2 π e - π e + 2 π e + 2 π

= 2 π

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = 2 π

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