Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto

  1. A = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x y ≤ 2 ,   x 2 + y 2 ≤ 5   e   x > 0 .
  2. A = x , y ∈ R 2 : y ≥ x   e   x - 1 2 + y 2 ≤ 1 .
  3. A = x , y ∈ R 2 : 0 ≤ x ≤ 2   e   e - x ≤ y ≤ e x .
  4. A = { x , y ∈ R 2 : x < 0 ,   y ≤ 1   e   1 / x   ≤ y ≤ 4 / x 2 } .

Passo 1

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto

A = x , y ∈ R 2 : y ≥ x   e   x - 1 2 + y 2 ≤ 1 ,

vamos usar o método de integração em coordenadas cilíndricas.

Primeiro, vamos entender as condições dadas para o conjunto A

1. y ≥ x define a região acima da curva y = x no primeiro quadrante.

2. x - 1 2 + y 2 ≤ 1 define um círculo de raio 1 centrado em ( 1,0 )

A interseção dessas duas condições resulta em uma região limitada pelo círculo e pela curva y = x

Para calcular o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x do conjunto A, que é definido pelas condições:

Podemos utilizar o método de integração em coordenadas cilíndricas para resolver esse problema. Antes de prosseguir com o cálculo do volume, é importante visualizar a interseção dessas duas condições, que resulta em uma região limitada pelo círculo e pela curva y   =   x .

A condição 1 nos diz que estamos considerando apenas a região acima da curva y   =   x no primeiro quadrante. Isso implica que x deve ser maior ou igual a zero, pois a raiz quadrada de um número negativo não é definida no conjunto dos números reais.

A condição 2 nos diz que estamos limitados por um círculo de raio 1 centrado em (1,0). Portanto, a parte da região acima da curva y   =   x que está fora desse círculo não contribuirá para o volume do sólido rotacionado.

Ao visualizar essa interseção, podemos imaginar que estamos considerando apenas a parte da curva y   =   x que está contida no círculo de raio 1 centrado em (1,0). Essa é a região que será rotacionada em torno do eixo x para calcular o volume do sólido desejado.

Agora que entendemos a região de interesse, podemos prosseguir com o cálculo do volume utilizando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

A integral tripla em coordenadas cilíndricas é:

V   =   ∬ A d V d V =   ∫ 0 π 4 ∫ c o s θ 1 ∫ 0 2 π r d ϕ   d r d θ

Resolvendo as integrais:

V   =   ∫ 0 π 4 1 2 r 2 cos ⁡ θ 1 2 π d θ

V   =   π ∫ 0 π 4 1   -   c o s 2 θ d θ

V = π ∫ 0 π / 4 sin 2 ⁡ ( θ )   d θ

V = π ⋅ π 8 ⋅ 1 2 = π 2 16

V = π 6

Resposta

V = π 6

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