10.8 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas y = 2 x 2 e y = x 3 .

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos calcular o volume do sólido de revolução obtido pela rotação das curvas y = 2 x 2 e y = x 3 em torno do eixo x .

Pra isso vamos usar a fórmula, pra quando é rotação em torno do eixo x :

V = π ∫ a b R E 2 - R I 2 d x  

Onde a e b são o intervalo entre um ponto e outro que as curvas se interceptam e R E é a curva da região externa e R I a curva da região interna.

Passo 2

Primeiro precisamos ver qual é a curva que fica interna e qual a externa, né?

Vamos esboçar o gráfico das duas:

A curva verde é a parábola y = 2 x 2 e a azul é y = x 3 .

A verde está por cima, ne? Então ela será a região externa:

R E = 2 x 2

E a região interna:

R I = x 3

Passo 3

Pra achar os limites de integração igualamos as curvas:

2 x 2 = x 3

x 3 - 2 x 2 = 0

x 2 x - 2 = 0

Resolvendo, achamos:

x = 0

x = 2

Então a = 0 e b = 2

Passo 4

Agora já conseguimos usar a fórmula:

V = π ∫ a b R E 2 - R I 2 d x

= π ∫ 0 2 2 x 2 - x 3 d x

= π 2 x 3 3 - x 4 4 0 2

= π 2 2 3 3 - 2 4 4

= 4 π 3

Resposta

4 π 3

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