Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x , da região infinita situada entre o gráfico de y = x e - x e sua assíntota horizontal.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação, em torno do eixo x , da região limitada pela curva y = x e - x e e sua assíntota horizontal. Mas que região é essa? Vamos dar uma olhadinha no gráfico:

Repare que sua assíntota horizontal é o eixo x ( y = 0 ), porque a curva vai se aproximando cada vez mais dele, mas nunca realmente toca o eixo, e justamente por isso, nossa região é infinita. Isso significa que nosso limite de integração vai de x = 0 até x = + ∞ . Além disso, a gente precisa lembrar que nosso volume de rotação é dado pela integral:

V = π ∫ a b f x 2   d x

Assim, substituindo os dados do enunciado, conseguimos obter o volume do sólido gerado.

Vamos lá!

Passo 2

Sabendo que f ( x ) = x e - x , no intervalo [ 0 ,   + ∞ ] , vamos ter:

V = π ∫ 0 + ∞ x e - x 2   d x

Elevando ao quadrado:

V = π ∫ 0 + ∞ x 2 e - 2 x   d x

Como temos um produto difícil de integrar, vamos usar a integração por partes para facilitar nossa vida ( ∫ u d v = u v - ∫ v d u ). Chamando:

u = x 2 → d u = 2 x   d x

d v = e - 2 x → v = - 1 2 e - 2 x

Substituindo na fórmula da integral por partes:

- x 2 e - 2 x 2 + 1 2 ∫ 0 + ∞ 2 x e - 2 x   d x

- x 2 e - 2 x 2 + ∫ 0 + ∞ x e - 2 x   d x

A gente continua com um produto difícil de resolver no integrando, então vamos aplicar a integral por parte de novo. Dessa vez, fazendo:

u = x → d u = d x

d v = e - 2 x → v = - 1 2 e - 2 x

Substituindo na fórmula, junto com o resultado de cima, fica:

- x 2 e - 2 x 2 - x e - 2 x 2 + 1 2 ∫ 0 + ∞ e - 2 x   d x

Agora sim, integrando, temos:

- x 2 e - 2 x 2 - x e - 2 x 2 - e - 2 x 4 0 + ∞

Colocando e - 2 x em evidência e tirando o M.M.C.:

- e - 2 x 2 x 2 + 2 x + 1 4 0 + ∞

Para o limite superior, precisamos calcular o limite de quando x → + ∞ . No limite inferior, apenas substituímos x = 0 . Voltando a fórmula do volume, fica assim:

V = π lim x → + ∞ ⁡ - e - 2 x 2 x 2 + 2 x + 1 4 + e 0 2 ( 0 ) 2 + 2 ( 0 ) + 1 4

V = π lim x → + ∞ ⁡ - e - 2 x 2 x 2 + 2 x + 1 4 + 1 4

Quando x → ∞ , vamos ter - e - 2 x 2 x 2 + 2 x + 1 4 → 0 . Então, nosso resultado será:

V = π 0 + 1 4 = π 4

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = π 4

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