Nos exercícios 05 a 12, calcule o volume do sólido descrito em cada caso, usando integração tripla.

Sólido contido no cone z = x 2 + y 2 , limitado pela esfera de centro (0, 0, 2) e raio 2.

Passo 1

Para calcular o volume do sólido contido no cone ( z   =   x   +   y ) e limitado pela esfera de centro ( 0 ,   0 ,   2 ) e raio ( 2 ) , você pode usar uma integral tripla. Vamos fazer isso passo a passo.

Precisamos encontrar os limites de integração para ( x ) ,   ( y ) ,   e   ( z ) em termos das coordenadas esféricas, já que a esfera é dada em coordenadas esféricas.

As coordenadas esféricas são geralmente denotadas por ( ρ ) ,   ( θ ) ,   e   ( ϕ ) , onde:

- ( ρ ) é a distância do ponto ao centro da esfera (neste caso, x 2 + y 2 + z - 2 2 = 4 , substituindo os valores encontramos ρ = 4 cos ⁡ ϕ ).

- ( θ ) é o ângulo em relação ao eixo ( x ) .

- ( ϕ ) é o ângulo em relação ao eixo ( z ) .

Passo 2

Para encontramos ϕ devemos calcular a intersecção das superfícies,

x 2 + y 2 + z 2 = 2 z

z 2 = x 2 + y 2

z = 1

Então elas se encontram no plano z = 1 . A sua projeção no plano xy é

x 2 + y 2 + 1 = 2

x 2 + y 2 = 1

Então agora temos que

ϕ = arctan ⁡ z y

ϕ = π 4

Como iremos dar toda uma volta para ‘ler’ nosso solido, então 0 ≤ θ ≤ 2 π . Agora iremos montar e calcular nossa integral. Lembre-se que por estarmos mudando para coordenadas esféricas temos como jacobiano J = ρ 2 sin ⁡ ϕ

Passo 3

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 ∫ 0 4 cos ⁡ ϕ   ρ 2 sin ⁡ ϕ d ρ d ϕ d θ

∫ 0 2 π ∫ 0 π 4 64 cos 3 ⁡ ϕ sin ⁡ ϕ 3 d ϕ d θ

Chamando de u = cos ⁡ ϕ e d u d ϕ = - sin ⁡ ϕ os nossos novos limites de integração acabam sendo x = 0 → u = 1 e x = π 4 → u = 2 2

E nossa integral se torna

64 3 ∫ 1 2 2 - u 3 d u

64 3 u 4 4 2 2 1

64 3 1 4 - 1 16

64 3 3 16

4

Agora para última integração

∫ 0 2 π 4 d θ

8 π

Resposta

8 π

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