Seja R a região infinita delimitada pelas curvas y = e - x e y = 1 x , x ≥ 1 . Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o volume de rotação, em torno do eixo x , da região limitada pelas curvas y = e - x e y = 1 x , x ≥ 1 . Mas que região é essa? Vamos dar uma olhadinha no gráfico:

Nossa região é toda a aréa depois dessa reta em vermelho, que é a reta x = 1 . Então, nós temos uma região infinita, o que significa que nosso limite de integração vai de x = 1 até x = + ∞ . Além disso, a gente precisa lembrar que nosso volume de rotação é dado pela integral da área dos infinitos anéis formados na nossa região, que tem um raio externo R E = 1 x e um raio interno R I = e - x , ou seja:

V = π ∫ a b R E 2 - R I 2   d x

Assim, substituindo os dados do enunciado, conseguimos obter o volume do sólido gerado.

Vamos lá!

Passo 2

Sabendo que R E = 1 x e R I = e - x , no intervalo [ 1 ,   + ∞ ] , vamos ter:

V = π ∫ 1 + ∞ 1 x 2 - e - x 2 d x

V = π ∫ 1 + ∞ 1 x 2 - e - 2 x d x

Integrando, usando a regrinha da potência, temos:

V = π - 1 x + e - 2 x 2 1 + ∞

Para o limite superior, precisamos calcular o limite de quando x → + ∞ . No limite inferior, apenas substituímos x = 1 . Fica assim:

V = π lim x → + ∞ ⁡ - 1 x + e - 2 x 2 + 1 - e - 2 2

Quando x → ∞ , vamos ter - 1 x + e - 2 x 2 → 0 . Então, nosso resultado será:

V = π 0 + 1 - e - 2 2 = π 2 e 2 - 1 2 e 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

V = π 2 e 2 - 1 2 e 2

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Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d