Suponha que dois ciclistas estão correndo com a mesma velocidade escalar, ambos partindo, ao mesmo tempo, do ponto A - π 4 , 0 . Sabendo que o ciclista 1 percorre o arco de circunferência y = f x = π 4 2 - x 2 e o ciclista 2 percorre o arco da curva y = g x = - log ⁡ 2 cos ⁡ x para x ∈ - π 4 , π 4 . Qual deles chegará primeiro ao ponto B π 4 , 0 ?

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado quer que a gente determine qual dos ciclistas vai chegar primeiro no ponto B π 4 , 0 , sabendo que o primeiro vai pelo caminho y = f x = π 4 2 - x 2 e o segundo vai pelo caminho y = g x = - log ⁡ 2 cos ⁡ x , ambos partindo de A - π 4 , 0 .

Então, a gente precisa determinar qual o caminho menor. Pra fazer isso, precisamos saber o comprimento das curvas que os dois percorrem. Por definição, o comprimento de uma curva é dado por:

L = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x

Então, vamos derivar as equações das curvas, substituir na integral e comparar os dois resultados pra ver qual o caminho menor.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando y = f x = π 4 2 - x 2 , usando a regra da cadeia:

d y d x = - x π 4 2 - x 2

Elevando ao quadrado e somando o resultado com 1 , temos:

1 + - x π 4 2 - x 2 2 = π / 4 2 π / 4 2 - x 2

Então, substituindo na integral do comprimento de arco, vamos ter:

L = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x = ∫ a b π / 4 2 π / 4 2 - x 2 d x

Se a gente chamar π 4 = r , teremos:

L = ∫ a b r r 2 - x 2 d x

Pra conseguir sair dessa raiz no denominador da fração, vamos precisar usar uma substituição trigonométrica, fazendo x = r sin ⁡ θ , de modo que d x = r cos ⁡ θ d θ . Assim:

L = ∫ a b r r 2 - r 2 sin 2 ⁡ θ r cos ⁡ θ d θ = ∫ a b r 2 cos ⁡ θ r 2 ( 1 - sin 2 ⁡ θ ) d θ

Usando 1 - sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ , temos:

∫ a b r 2 cos ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ d θ = ∫ a b r 2 cos ⁡ θ r cos ⁡ θ d θ

= ∫ a b r d θ

Integrando em relação a θ :

L = r θ a b

Mas nosso ciclista parte de A - π 4 , 0 até B π 4 , 0 , então nosso intervalo de integração vai de x = - π 4 até x = π 4 :

L = r θ - π / 4 π / 4

Lembrando que nós definimos r = π 4 e x = r sin ⁡ θ , então θ = arcsin ⁡ x r . Assim, aplicando os intervalos de integração, temos:

L = r arcsin ⁡ x r - π / 4 π / 4 = π 4 arcsin ⁡ π / 4 π / 4 - arcsin ⁡ - π / 4 π / 4

L = π 4 arcsin ⁡ ( 1 ) - arcsin ⁡ ( - 1 ) = π 4 π 2 + π 2

L = π 2 4

Passo 3

Agora vamos ver o comprimento do caminho percorrido pelo ciclista 2 , que é descrito na função y = g x = - log ⁡ 2 cos ⁡ x . Derivando, usando a regra da cadeia, temos:

d y d x = - 1 2 cos ⁡ x - 2 sin ⁡ x = sin ⁡ x cos ⁡ x = tan ⁡ x

Substituindo na integral do comprimento de arco, temos:

L = ∫ a b 1 + d y d x 2 d x

L = ∫ - π / 4 π / 4 1 + tan 2 ⁡ x d x

Usando a identidade trigonométrica 1 + tan 2 ⁡ x = sec 2 ⁡ x :

L = ∫ - π / 4 π / 4 sec 2 ⁡ x d x = ∫ - π / 4 π / 4 sec ⁡ x d x

Integrando, vamos ter:

L = ln ⁡ ( sec ⁡ x + tan ⁡ x ) - π / 4 π / 4

Aplicando os intervalos de integração:

L = ln ⁡ sec ⁡ π 4 + tan ⁡ π 4 - ln ⁡ sec ⁡ - π 4 + tan ⁡ - π 4

L = ln ⁡ ( 2 + 1 ) - ln ⁡ 2 - 1

Pela propriedade de logaritmo:

L = ln ⁡ 2 + 1 2 - 1

Então, o ciclista 2 percorre L ≈ 1,76 e o ciclista 1 percorre L ≈ 2,46 . Como o percusso do ciclista 2 é menor, ele chega primeiro ao ponto B .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

O   c i c l i s t a   2   c h e g a   p r i m e i r o

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