O volume da região limitada pelo cone z = x 2 + y 2 e pelo cilindro x 2 + y y 2 = 2 y com z ≥ 0 , x ≥ 0 pode ser calculado usando coordenadas cilíndricas por

∫ 0 a ∫ 0 b ∫ 0 r r d z d r d θ

Passo 1

Beleza meu amigo? Aqui a gente não vai precisar resolver uma integral, iremos apenas analisar a sua estrutura, passar para coordenadas cilíndricas e depois encontrar os limites de integração. As coordenadas cilíndricas são

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

x 2 + y 2 = r 2

Passo 2

Vamos substituir no cilindro e ver o que encontramos

r 2 = 2 r sin ⁡ θ

r = 2 sin ⁡ θ

Tomando a vista superior de nossa região

Notamos que o ângulo 0 ≤ θ ≤ π

Resposta

b)

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d