O volume do sólido limitado por z = 3 + x 2 + y 2 e z = 6 é

Passo 1

Olá meu caro amigo, como você está? Espero que esteja bem pois agora iremos resolver uma querida integral. Queremos calcular o volume de um solido, e uma forma interessante de fazer isso é com integrais triplas. Vamos da uma olhada no solido que a gente precisa calcular o volume.

Para facilitar a minha vida e a sua vida, vamos parametrizar essa figura?

Vamos utilizar as coordenadas cilíndricas nesse caso, onde

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

z = z

Os nossos queridos intervalos,

3 + r 2 ≤ z ≤ 6

0 ≤ r ≤ 3

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 2

Agora é a hora de lançar a braba, montar a integral e calcular

v =   ∫ 0 2 π ∫ 0 3 ∫ 3 + r 2 6 r d z d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 r 6 - 3 - r 2 d r d θ

= ∫ 0 2 π ∫ 0 3 3 r - r 3 d r d θ

= ∫ 0 2 π 3 r 2 2 - r 4 4 ​ 0 3 d θ

= 9 4 ∙ 2 π

= 9 2 π

Resposta

9 2 π

Exercícios de Livros Relacionados

58. A base de S é a região delimitada pela parábola y = 1 - x 2 e pelo eixo x . As secções transversais perpendiculares ao eixo y são quadradas.
Considere S o sólido obtido pela rotação da região mostrada na figura em torno do eixo y . Esboce uma casca cilíndrica típica e encontre sua circunferência e altura. Use cascas para encontrar o volume
Use os resultados desta seção para deduzir o Princípio de Cavalieri (Exercício 64 ).
Conforme a figura abaixo, a cúpula de uma catedral foi projetada com três suportes semicirculares de raio r , de modo que cada seção transversal horizontal é um hexágono regular. Mostre que o volume d