Exercícios Resolvidos de Torque

Momento angular

Uma haste metálica fina e homogênea, de comprimento d e massa M , pode girar livremente em torno de um eixo horizontal que a atravessa perpendicularmente em um ponto O distante d / 4 de uma suas das extremidades, conforme mostrado na figura. A haste é solta a partir do repouso de uma posição horizontal, portanto, estando com sua dimensão maior paralela ao chão.

  1. Calcule o momento de inércia da haste com respeito ao eixo em torno do qual ela gira.
  2. Calcule a velocidade angular ω adquirida pela haste após ela ter caído de um ângulo θ , conforme indicado na figura.
  3. Calcule a aceleração α da haste após ela ter caído do mesmo ângulo θ .

Dado: Momento de inércia de uma barra de massa M e comprimento L cujo eixo de rotação passa pelo seu centro de massa: M L 2 12

Passo 1

a).

Bom, aqui a gente vai ter que usar o teorema dos eixos paralelos, já que o eixo de rotação não passa pelo centro de massa da barra.

Isso é:

I = I 0 + M D 2

É importante aqui a gente achar essa distância D entre o centro de massa e o eixo de rotação.

Bom, como o centro de massa está localizado em:

C M = L 2

E o pino está colocado na metade de uma das metades da barra, isso é, em L 4 , é de esperar que essa distância D seja:

D = L 2 - L 4 = L 4

Show? Bem, então:

I = M L 2 12 + M L 4 2 = M L 2 12 + M L 2 16 = 28 M L 2 12.16 = 7 M L 2 48

Então:

I = 7 M L 2 48

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bom galera, a gente vai ter que usar a relação entre torque, momento angular e velocidade angular.

A relação não vetorial é assim:

τ = d L d t

E:

L = I ω

Bom, mas o torque que age sobre a barra é o torque da força peso. Para descobrir o torque temos que pegar a componente do peso que é perpendicular à barra

Seu módulo é dado por:

‖ τ → ‖ = D P ⊥ = D P s e n π 2 - θ = m g D s e n π 2 - θ

Onde D :

D = L 4

Então:

τ → = m g L 4 s e n π 2 - θ

Fazendo a expansão do seno

s e n π 2 - θ = s e n π 2 cos ⁡ θ - s e n θ cos ⁡ π 2 = 1 cos ⁡ θ - s e n θ 0

s e n π 2 - θ = c o s ⁡ ( θ )

Assim finalmente

τ → = m g L 4 c o s ⁡ ( θ )

Beleza? Mas como você pode ver esse torque varia de acordo com o ângulo θ .

Então teremos que integrar essa parada.

Passo 3

De acordo com a equação:

τ = d L d θ ⇒ ∫ τ   d θ = ∆ L

Vamos integrar e assim descobrir a variação de momento angular. No entanto, como a barra parte do repouso, o momento inicial é nulo:

L 0 = 0 → ∆ L = L - L 0 = L

Logo:

L = ∫ τ   d θ

Então:

L = ∫ 0 θ m g L 4 cos ⁡ θ d θ

Lembrando que o ângulo inicial é 0 .

Assim:

L = m g L 4 ∫ 0 θ cos ⁡ θ d θ = m g L 4 s e n θ - s e n ( 0 )

Então:

L = m g L 4 s e n θ

Mas como:

L = I ω f = 7 m L 2 48 . ω

Então:

ω f 7 m L 2 48 = m g L 4 s e n ( θ )

ω f = 12 m g L 7 m L 2 s e n ( θ )

ω f = 12 7 . g L s e n ( θ )

Passo 4

c):

Bom, aqui só a gente usar a formula:

τ = I α

Precisamos usar o valor do torque quando ele atinge o ângulo θ :

τ = m g L 4 cos ⁡ θ

Então:

m g L 4 cos ⁡ θ = 7 m L 2 48 α

α = 12 m g L 7 m L 2 cos ⁡ θ = 12 7 g L cos ⁡ θ   r a d / s 2

α = 12 7 g L cos ⁡ θ   r a d / s 2

Resposta

a):

I = 7 M L 2 48

b):

ω f = 12 7 . g L s e n θ

c):

α = 12 7 g L cos ⁡ θ   r a d / s 2

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