Exercícios Resolvidos de Limite Fundamental Trigonométrico

UFF, Cálculo IA-Lista 5, GMA, 2008-1, Questão 12.

Calcule o limite, se possível. Caso conclua que o limite não existe, justifique.

lim x 1 s e n ( π x ) 1 - x ²  

Passo 1

Antes de tudo, quero só dizer que essa questão não é fácil, mas vamos explicá-la com calma.

Ao substituir já vemos um belo 0 0 :

lim x 1 s e n ( π x ) 1 - x ²   = sen π 1 - 1 = 0 0

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Passo 2

Primeira coisa, já é usual ver um cara desses com diferença de quadrados. Vamos abrir logo, com o produto notável:

1 - x 2 = 1 + x 1 - x

lim x 1 s e n ( π x ) 1 - x ²   = lim x 1 s e n ( π x ) 1 + x 1 - x = lim x 1 sen π x 1 - x lim x 1 1 1 + x

Separei o 1 1 + x do resto pois ele vai convergir para um valor. Substituindo ele:

lim x 1 1 1 + x = 1 1 + 1 = 1 2

Agora podemos nos concentrar no que sobrou:

lim x 1 sen π x 1 - x

Passo 3

Vai parecer meio aleatório (e é mesmo...), mas eu vou fazer uma substituição com o termo do denominador. Eu não tenho muito o que fazer, então vou pegar o cara que se destaca e substituí-lo por u :

u = 1 - x   ; x = 1 - u   ;   x 1

u 1 - 1 = 0

Com isso, teremos:

lim x 1 sen π x 1 - x = lim u 0 sen π 1 - u u = lim u 0 sen π - π u u

Passo 4

Eu sei que não parece ter melhorado muito, mas existe uma propriedade para o seno de uma diferença de ângulos, essa aqui:

sen ( x - y ) = sen x cos y - sen y cos x

Se eu fizer essa com o seno ali de cima, terei:

sen π - π u = sen π cos π u - sen π u cos π

Temos que cos π = - 1 e sen π = 0 . Logo,

sen π - π u = - sen π u - 1 = sen π u

Voltando no limite, olha que beleza:

lim u 0 sen π - π u u = lim u 0 sen π u u

Passo 5

Multiplicando em cima e embaixo por π , teremos, fazendo uma segunda substituição de t = π u , com t 0 :

lim u 0 sen π u u = π lim u 0 sen π u π u = π lim t 0 sen t t

Apareceu o Limite Fundamental Trigonométrico. Substituindo-o:

= π 1 = π

Certo, com isso o resultado final fica:

lim x 1 sen π x 1 - x 2   = lim x 1 sen π x 1 - x lim x 1 1 1 + x

= lim u 0 sen π - π u u lim x 1 1 1 + x = π 1 1 + 1

= π 1 2 = π 2

Resposta

lim x 1 s e n ( π x ) 1 - x ²   = π 2

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