Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 9, Questão 35

Ache o volume máximo do paralelepípedo inscrível no elipsóide

16 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 = 144

Passo 1

Sim, a questão é meio bizarra, mas não se assuste!

Se olharmos a fundo, temos como pensar o seguinte: Existe uma função, Volume, que devemos achar seu máximo. Mas o volume pode crescer o quanto quisermos, basta aumentar as dimensões do paralelepipedo, não é? Neste caso, não, porque existe uma outra função, que limita o nosso volume, que é a equação do elipsóide!

Então, com certeza, teremos que usar os multiplicadores de LaGrange, pois temos que encontrar o ponto máximo de uma função com restrição!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar definindo qual é essa nossa função Volume:

V x , y , z = x y z

Bem simples, né? Só chamar o comprimento, largura e altura de x , y e z e multiplicar, aí temos o volume!

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o gradiente da função Volume:

V x , y , z = V x , V y , V z

Suas derivadas parciais são...

V x x , y , z = y z

V y x , y , z = x z

V z x , y , z = x y

Logo, o gradiente é:

V x , y , z = y z , x z , x y

Passo 4

Beleza, agora vamos encontrar o gradiente da função do elipsóide:

16 x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 - 144 = 0

Podemos dividir tudo por 144 , pra simplificar:

x 2 9 + y 2 36 + z 2 16 - 1 = 0

Lembre-se, antes temos que jogar tudo pro lado esquerdo (dessa vez não faz tanta diferença...)

Enfim, calculando as derivadas parciais do elipsóide:

E x x , y , z = 2 x 9

E y x , y , z = 2 y 36

E z x , y , z = 2 z 16

Assim, nosso vetor gradiente da função do elipsóide fica:

E x , y , z = 2 x 9 , 2 y 36 , 2 z 16

Passo 5

Finalmente! Agora podemos equacionar os multiplicadores de LaGrange!

V x , y , z = λ E x , y , z

y z , x z , x y = λ 2 x 9 , 2 y 36 , 2 z 16

E então é continuar decompondo essa expressão:

λ 2 x 9 = y z 9 = λ 2 x y z

λ 2 y 36 = x z 36 = λ 2 y x z

λ 2 z 16 = x y   16 = λ 2 z x y

Passo 6

E, como temos agora os valores dos denominadores das variáveis do elipsóide em função do x , y , z e λ   é só colocar na própria equação dele! Fica assim:

x 2 9 + y 2 36 + z 2 16 - 1 = 0

Colocando os valores dos denominadores...

x 2 λ 2 x y z + y 2 λ 2 y x z + z 2 λ 2 z x y - 1 = 0

Desenvolvendo isso, fica...

x y z 2 λ + x y z 2 λ + x y z 2 λ = 1

x y z 2 + x y z 2 + x y z 2 = λ

3 x y z 2 = λ

Passo 7

Com os valores de lambda posso descobrir os valores de   x ,   y ,   e   z ! Olha como é simples:

Para x temos:

9 = λ 2 x y z

com λ = 3 x y z 2 fica

9 = 3 x y z 2 2 x y z

9 = 3 x 2

x = 3 3

Fazemos agora o mesmo para y e z :

36 = 3 x y z 2 2 y x z

y = 6 3

e

16 = 3 x y z 2 2 z x y

z = 4 3

Passo 8

Agora vem a parte mais fácil! Escrever nossa função volume com os x ,   y ,   e   z que encontramos!

V x , y , z = x y z

V x , y , z = 3 3 6 3 4 3

V x , y , z = 3.6 . 4 3 3

Resposta

V x , y , z = 24 3

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