Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

PUCRIO, Cálculo 2 - MAT1162, G3 - 2012.2, Questão 2

Encontre o máximo global da função

f x , y , z = 8 x y z

restrita ao elipsoide

2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 18

Passo 1

Verificar máximos e mínimos na superfície (elipsoide):

Para isso, calcular gradiente da função:

f x , y , z = 8 y z ,   8 x z ,   8 x y

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pegar equação da superfície e jogar tudo para o lado esquerdo da equação e deixar zero no lado direito:

Equação da superfície:

2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 18

2 x 2 + 3 y 2 + z 2 - 18 = 0

Passo 3

Definir função g x , y , z sendo o lado esquerdo da equação acima:

g x , y , z = 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 - 18

Passo 4

Calcular gradiente de g x , y , z :

g x , y , z = 4 x ,   6 y ,   2 z

Passo 5

Utilizar multiplicador de Lagrange:

f = λ g

8 y z ,   8 x z ,   8 x y = λ 4 x ,   6 y ,   2 z

Passo 6

Igualar coordenadas e encontrar sistema:

8 y z = λ 4 x   8 x z = λ 6 y   8 x y = λ 2 z

Colocando algumas coisas em evidência:

2 y z = λ x   4 x z = 3 λ y   4 x y = λ z

Passo 7

Adicionar equação da superfície ao sistema encontrado acima:

Equação da superfície: 2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 18

2 y z = λ x   4 x z = 3 λ y   4 x y = λ z   2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 18

Passo 8

Resolver o sistema:

Vamos supor que x ,   y ,   z ,   λ são diferentes de zero. Assim, podemos dividir a primeira equação pela segunda, termo a termo:

2 y z 4 x z = λ x 3 λ y

Simplificando os dois lados:

y 2 x = x 3 y

Multiplicando cruzado:

3 y 2 = 2 x 2

Dividindo, agora, a segunda equação pela terceira, termo a termo:

4 x z 4 x y = 3 λ y λ z

Simplificando e multiplicando cruzado:

z y = 3 y z

z 2 = 3 y 2

Pela equação que obtemos acima, podemos escrever x 2 em termos de y 2 :

3 y 2 = 2 x 2

x 2 = 3 2 y 2

Agora temos x 2 e z 2 em termos de y 2 . Vamos substituir na última equação:

2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 18

Substituindo:

2 3 2 y 2 + 3 y 2 + 3 y 2 = 18

3 y 2 + 3 y 2 + 3 y 2 = 18

9 y 2 = 18

y 2 = 2

Pronto! Descobrimos o valor de y 2 . Agora é só voltar e substituir para encontrar x 2 e z 2 :

Substituindo em x 2 :

x 2 = 3 2 y 2 = 3 2 2

x 2 = 3

Substituindo em z 2 :

z 2 = 3 y 2 = 3 ( 2 )

z 2 = 6

Show! Temos, agora, os valores de x 2 , y 2 e z 2 :

x 2 = 3   y 2 = 2   z 2 = 6

Agora é só tirar as raízes quadradas:

x = ± 3   y = ± 2   z = ± 6

Ótimo! Mas isso se todas incógnitas forem diferentes de zero, lembra?

Passo 9

Se x = 0 ou y = 0 ou z = 0 , perceba que a nossa função seria

f x , y , z = 8 x y z = 0

Certo? Se, pelo menos uma dessas variáveis for zero, a função zera!

Vamos supor que λ = 0 agora.

Substituindo no sistema:

2 y z = 0   4 x z = 0   4 x y = 0   2 x 2 + 3 y 2 + z 2 = 18

Então, pelas três primeiras equações, temos que

y z = 0   x z = 0   x y = 0

Pela primeira equação, temos que y = 0 ou z = 0 .

Pronto! Nem precisa fazer mais nada! Temos o mesmo caso: se, pelo menos uma variável for zero, então a função zera! De novo, teríamos que

f x , y , z = 0

Passo 10

Substituir pontos encontrados para determinar máximo e mínimo:

f x , y , z = 8 x y z

Passo 11

Nos casos em que x = 0 , y = 0 , z = 0 ou λ = 0 , vimos que

f = 0

Passo 12

Agora precisamos analisar para os pontos que encontramos antes:

x = ± 3   y = ± 2   z = ± 6

Perceba que temos oito pontos:

P = ± 3 ,   ± 2 ,   ± 6

Oito porque temos duas opções de sinal para cada coordenada, certo?

Substituindo:

f P = 8 ± 3 ± 2 ± 6

f P = ± 8 3.2 . 6

f P = ± 8 36

f P = ± 8 6

f P = ± 48

Passo 13

Então, encontramos que f pode ser 0 , - 48 e 48 .

Logo, o valor máximo é 48 .

Agora é só ver quais são os pontos que resultam em um sinal positivo.

Para o sinal do produto ser positivo, temos duas possibilidades:

  • Os três são positivos
  • Um positivo e dois negativos

Se os três são positivos:

x = 3   y = 2   z = 6

Se um é positivo e os outros dois são negativos, temos três possibilidades: ou x , ou y ou z são positivos e os outros dois negativos:

x positivo e as outras variáveis negativas:

x = 3   y = - 2   z = - 6

y positivo e as outras variáveis negativas:

x = - 3   y = 2   z = - 6

z positivo e as outras variáveis negativas:

x = - 3   y = - 2   z = 6

Beleza?

Então temos quatro pontos que correspondem ao valor máximo de 48 :

P 1 = 3 ,   2 ,   6

P 2 = 3 ,   - 2 ,   - 6

P 3 = - 3 ,   2 ,   - 6

P 4 = - 3 ,   - 2 ,   6

Resposta

Valor máximo: 48

Pontos de máximo:

P 1 = 3 ,   2 ,   6

P 2 = 3 ,   - 2 ,   - 6

P 3 = - 3 ,   2 ,   - 6

P 4 = - 3 ,   - 2 ,   6

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