Exercícios Resolvidos de Multiplicadores de Lagrange com 1 Restrição

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2017.1, Questão 3

Quais os valores máximo e mínimo, respectivamente de

f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z

No domínio

x 2 + y 2 + z 2 1

  1. 7 4   e 7 16
  2. 7 4   e 7 8
  3. 5 e - 1 12
  4. 4 e - 1 1 2
  5. O valor máximo é 7 4 e o valor mínimo não existe

Passo 1

Não podemos aplicar direto Lagrange, pois temos uma restrição com “ ”, e não “ = ”. Então vamos começar achando os pontos críticos da função.

O gradiente de f é:

f x , y , z = 2 x , 4 y ,   6 z - 1

Igualando a zero, temos o sistema:

2 x = 0 4 y = 0 6 z - 1 = 0

Da terceira equação, temos que

z = 1 6

E das duas primeiras equações temos que

x = 0

y = 0

Assim, temos o ponto crítico

P 0 = 0,0 , 1 6

Se a gente substituir esse ponto na equação do domínio, vamos ver que ele pertence a região, que é uma esfera centrada na origem.

Show, então vamos guardar esse ponto.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos buscar os candidatos a máximo e mínimo que estão na fronteira da região, que é:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Agora sim podemos usar Lagrange, pois estamos trabalhando só com a fronteira, ou seja, só com o " = " .

Jogando tudo pra esquerda:

x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0

Chamamos isso de g x , y , z :

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1

Calculamos o seu gradiente:

g x , y , z = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 3

Perfeito, agora, só precisamos dizer que os gradientes são paralelos! Isso significa que:

f = λ g

2 x , 4 y ,   6 z - 1 = λ 2 x , 2 y , 2 z

Igualando cada coordenada e acrescentado a equação da restrição, teremos:

2 x = λ . 2 x 4 y = λ . 2 y 6 z - 1 = λ . 2 z x 2 + y 2 + z 2 = 1  

Passo 4

Agora, só precisamos manejar as 3 primeiras equações e descobrir os valores das variáveis usando a última (restrição).

Observando as duas primeiras equações, eu sei que a mão coça para sair cortando o x e o y dos dois lados. Mas repare que se x = 0 ou y = 0 temos uma solução para as equações.

Agora sim! Uma vez que a gente sabe que x = 0 e y = 0 são soluções, podemos cortar essas bagaças e ai ficamos com:

Da primeira equação:

2 = 2 λ   λ = 1

E da segunda equação:

4 = 2 λ   λ = 2

Assim temos que

x = 0   o u   λ = 1

y = 0   o u   λ = 2

Repare que não podemos ter x 0 e y 0 ao mesmo tempo porque senão pela primeira equação teríamos λ = 1 e pela segunda, λ = 2 . Então vamos ter 3 possibilidades:

  • x = y = 0
  • x = 0 e y 0
  • x 0 e y = 0

Vamos olhar caso por caso!

Passo 5

Se x = y = 0 , a equação da restrição fica:

z = ± 1

Vamos testar se esses valores condizem com a terceira equação:

6 z - 1 = λ 2 z

Caso z = 1 :

5 = λ 2

λ = 5 2

E caso z = - 1 :

- 7 = - 2 λ

λ = 7 2

Tudo certo! :)

Assim, obtemos 2 pontos candidatos: os pontos P 1 = ( 0,0 , 1 ) e P 2 = ( 0,0 , - 1 ) .

Passo 6

Agora vamos ao segundo caso.

Se x = 0 e y 0 :

Pela segunda equação, temos λ = 2 .

Então, substituindo isso na terceira equação, ela fica:

6 z - 1 = 4 z

z = 1 2

Substituindo na ultima equação:

0 2 + y 2 + 1 2 2 = 1

y = ± 3 2

Mais 2 candidatos! Os pontos P 3 = 0 , 3 2 , 1 2 e P 4 = 0 , - 3 2 , 1 2 .

Passo 7

Agora é a última possibilidade! Se x 0 e y = 0 :

Pela primeira equaç��o, temos λ = 1 . Substituindo isso na terceira, encontramos:

6 z - 1 = 2 z

z = 1 4

Agora vamos achar o x com a ultima equação. Para isso, é só substituir y = 0 nela. Encontramos:

x 2 + 0 2 + 1 4 2 = 1

x = ± 15 4

Logo, os nossos últimos 2 candidatos são os pontos P 5 = 15 4 , 0 , 1 4 e P 6 = - 15 4 , 0 , 1 4 .

Passo 8

Recapitulando, achamos os pontos

P 0 = 0,0 , 1 6

Que está dentro da região, e os pontos

P 1 = 0,0 , 1 , P 2 = 0,0 , - 1 , P 3 = 0 , 3 2 , 1 2 , P 4 = 0 , - 3 2 , 1 2 , P 5 = 15 4 , 0 , 1 4 , P 6 = - 15 4 , 0 , 1 4

Que estão na fronteira da região.

Para saber quem desses pontos é o máximo e quem é o mínimo, é só calcular os valores da função f para cada um deles. Fazendo isso, ficamos com:

f x , y , z = x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 - z

f P 0 = - 1 12 ,   f P 1 = 2 , f P 2 = 4 , f P 3 = 7 4 , f P 4 = 7 4 , f P 5 = 7 8 , f P 6 = 7 8

Portanto, os valores máximo e mínimo de f , restrita ao domínio x 2 + y 2 + z 2 1 , são os 4 e - 1 12 .

Resposta

L e t r a   d

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