Exercícios Resolvidos de Substituição Trigonométrica

James Stewart, Cálculo Vol. 1, tradução da 5ª ed. Norte-americana, Rio de Janeiro: CENGAGE learning, 2005, pp. 537 ex 30

Calcule a integral

d x e x 1 - e - 2 x

Passo 1

Essa integral, a princípio, não tem muita cara de nada que a gente sabe resolver, né? E aí? Nesses casos, a gente tenta jogar uma substituição simples marota para ver se dá uma simplificada e ver se chegamos em algo com uma carinha melhor.

Vamos simplificar esse bicho feio aí? Repara comigo que eu tenho um e x no denominador e tenho, dentro da raiz, um e - 2 x . Cara, se eu jogar o e x para cima, basta inverter o sinal do expoente:

d x e x 1 - e - 2 x = e - x d x 1 - e - 2 x

Fala sério, a partir daqui, eu posso chamar essa coisa feia de u , né?

u = e - x   ;   d u = - e - x d x e - x d x = - d u  

Mandei essa substituição simples nessa integral. A nova cara é essa:

e - x d x 1 - e - 2 x = ( e - x d x ) 1 - ( e - x ) 2 = - d u 1 - u 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

E agora? Tá vendo que tenho uma raiz com um 1 - u 2 ali? Vai dizer que isso não te lembra nada? Não parece que isso vai sair por substituição trigonométrica?

Então... agora que você já sabe qual é o método de integração que deve te conduzir à luz, identifique o caso e seja feliz!

Bom, temos uma expressão do tipo a 2 - x 2 .

Então, a substituição que devemos fazer nesse caso é:   x = a . s e n θ

Passo 3

Agora vamos partir para a resolução propriamente dita. Já identificamos qual caso usar. O próximo passo é identificar quem é o a e, a partir disso, calcular d u e substituir na integral.

Temos 1 - u 2

Portanto, temos:

a = 1   x = s e n   θ

d x = cos θ d θ

Substituindo na integral:

- d u 1 - u 2 = - cos θ   d θ 1 - sen 2 θ = - cos θ   d θ cos 2 θ = - d θ

Passo 4

Agora devemos resolver a integral na variável θ . Essa integral é molezinha, amigo, tirar doce de criança:

- d θ = - θ

Passo 5

Bom, agora que já resolvemos a integral em θ . Agora temos que voltar para u . Então montamos aquele triângulo maroto para des-substituir o θ para u , lembrando que no caso do seno, o triângulo fica com essa cara aqui, ó:

A partir dessa triângulo, tiramos todas as relações de que precisamos. Nesse caso, só precisamos do valor de θ . Repare que a relação s e n   θ é a que vai dar a expressão mais simples:

sen θ = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = u 1 = u

θ = a r c s e n   u

Eu poderia ter escolhido calcular o cosseno ou tangente, mas esse foi o que deu a expressão mais simples, por isso a escolhi.

Substituindo isso no resultado em θ que havíamos encontrado e lembrando que é uma integral definida, portanto, não devemos esquecer a constante C , beleza? Se liga aí para não dar bobeira!

- d u 1 - u 2 = - a r c s e n   u + C 1

Chamei a constante aí em cima de C 1 porque essa ainda não é a resposta definitiva. Voltamos para u mas a integral que tínhamos inicialmente era em x . Esse u aí veio daquela substituição esperta que fizemos para faciliar nossa vida.

Agora temos que voltar para x . Lembrando que fizemos u = e - x :

d x e x 1 - e - 2 x =   - a r c s e n   e - x + C

- ''

Resposta

d x e x 1 - e - 2 x = - arcsen e - x + C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas