Exercícios Resolvidos de Derivadas Direcionais

Derivadas Direcionais

Determine a derivada direcional da função g x , y , z = x e y + y e z + z e x no ponto 0,0 , 0 na direção do vetor v = 5 i + j - 2 k .

Passo 1

Antes de mais nada, vamos lembrar como se calcula a derivada direcional de uma função f na direção de um vetor u , ok? Ela é dada por:

∂ f ∂ u P 0 = ∇ f P 0 ⋅ u u

Show! Então precisamos de uma função f , de um vetor u e de um ponto P 0 . No nosso caso vamos ter:

  • A f vai ser a g , com g x , y , z = x e y + y e z + z e x . Aliás, engraçada essa função, só tem letra!
  • O vetor u vai ser v , com v = 5 i + j - 2 k . Beleza, mas vai ser melhor com um vetor bonitinho, do tipo v = ( a , b , c ) . E o vetor v nada mais é que o vetor 5,0 , 0 i + 0,1 , 0 j + 0,0 , - 2 k . Ou seja, v = ( 5,1 , - 2 ) . Excelente!
  • E o ponto P 0 vai ser o ponto ( 0,0 , 0 ) .
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Passo 2

Vamos precisar do gradiente da g né? Então vamos calcular as derivadas parciais!

∂ g ∂ x x , y , z = e y + 0 + z e x

∂ g ∂ y x , y , z = x e y + e z + 0

∂ g ∂ z x , y , z = 0 + y e z + e x

Então o gradiente da g é:

∇ g x , y , z = ( e y + z e x ,   x e y + e z ,   y e z + e x )

Mas o que nos interessa é no nosso ponto P 0 , o ponto ( 0,0 , 0 ) :

∇ g 0,0 , 0 = 1 + 0 ,   0 + 1 ,   0 + 1 = ( 1,1 , 1 )

Passo 3

A última coisa que precisamos pra poder aplicar a fórmula é o módulo do vetor v . Então vamos calculá-lo:

v = ( 5,1 , - 2 )

v = 5 2 + 1 2 + - 2 2 = 30

Passo 4

Firmeza! Agora podemos jogar o que achamos na fórmula do começo:

∂ g ∂ v 0,0 , 0 = ∇ g 0,0 , 0 ⋅ v v

⇒   ∂ g ∂ v 0,0 , 0 = 1,1 , 1 ⋅ 5,1 , - 2 30  

⇒   ∂ g ∂ v 0,0 , 0 = 1,1 , 1 ⋅ 5 30 , 1 30 , - 2 30  

⇒   ∂ g ∂ v 0,0 , 0 = 5 + 1 - 2 30 = 4 30

Uhul, achamos! A derivada direcional é 4 30 .

Resposta

∂ g ∂ v 0,0 , 0 = 4 30

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