Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

UFRJ, Cálculo 1, PF - 2015.2, Questão 5

Seja R a região limitada pelas curvas f x = 2 - x 2 e g x = 1 .

  1. Esboce a região R .
  2. Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando R é girado ao redor da reta y = 1 .

Passo 1

Está bem, vamos começar esboçando a região. Temos uma função f x = 2 - x 2 , que é uma parábola côncava para baixo de raízes:

x = ± 2

Atrelando isso a reta y = 1 , temos:

Sendo a parte entre a parábola e a reta, nossa região R .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Queremos girar nossa região em torno da reta y = 1 . Assim, usando o método dos discos cilíndricos, temos:

V = a b π f x - 1 2 d x

Onde a e b é a interseção. Para calcularmos os dois igualamos f x e g x :

2 - x 2 = 1 x = ± 1

Assim ficamos com:

V = π - 1 1 1 - x 2 2 d x

Como a região é simétrica, podemos fazer:

V = 2 π 0 1 1 - x 2 2 d x

Sendo:

1 - x 2 2 = 1 - 2 x 2 + x 4

Ficando:

V = 2 π 0 1 1 - x 2 2 d x = 2 π x - 2 x 3 3 + x 5 5 0 1 = 16 15 π

Resposta

V = 16 15 π

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas