Exercícios Resolvidos de Integrais Trigonométricas

CEFET - Cálculo 1 - P2 Túlio 2014.1 - 4

Sabendo-se que m e n são números inteiros positivos, mostre que

- 1 1 cos ( n π x ) cos ( m π x ) d x = 0 ,     m n 1 ,     m = n

Passo 1

-

Bom, esse é um daqueles casos clássicos de Integral Trigonométrica. Tenho que buscar uma forma de, através de relações trigonométricas, simplificar a cara dessa integral aí. Tem uma que me vem à cabeça que trabalha justamente isso, um produto entre cossenos, olha:

cos x cos y = 1 2 cos x + y + cos x - y

Nesse caso aí, fica desse jeito:

cos ( n π x ) cos ( m π x ) = 1 2 { cos π x n + m + cos π x n - m }

Reescrevendo na equação agora.

- 1 1 cos ( n π x ) cos ( m π x ) d x = - 1 1 1 2 { cos π x n + m + cos π x n - m } d x

Faça o seguinte, estudante: olhe para o gráfico do cosseno de - π até π .

Reparou que a função é espelhada? É aquela chamada função par, quando f x = f ( - x ) .

Nesse caso, observando a integral como área, a gente nota que uma integral do cosseno de limites de integração múltiplos de π vai zerar, pois a porção de área acima do eixo x será sempre igual à de baixo.

Poréeeeeem, isso não acontecerá apenas em um caso. Adivinha que caso é esse?

cos x cos y = cos 2 x

Que acontece quando x = y . Nesse caso, o gráfico não tem parte negativa, já que cos 2 x será inteiramente positivo, sempre. Dessa forma, apenas para provar, vamos fazer a integral quando m = n :

- 1 1 cos ( n π x ) cos ( m π x ) d x = - 1 1 cos 2 ( n π x ) d x

Abrindo por essa relação fica tranquilo:

cos 2 x = 1 + cos 2 x 2

- 1 1 cos 2 n π x d x = - 1 1 1 + cos 2 n π x 2 d x = x 2 + sen 2 n π x 4 n π [ 1 - 1

= 1 2 + sen 2 n π 4 n π - - 1 2 + sen - 2 n π 4 n π = 1 2 + 1 2 + sen 2 n π 4 n π - sen - 2 n π 4 n π

= 1

E é isso, provado que a integral vale 1 para m = n e 0 para m n .

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