CEFET - Cálculo 1 - P2 Túlio 2014.1 - 4
Sabendo-se que e são números inteiros positivos, mostre que
Passo 1
Bom, esse é um daqueles casos clássicos de Integral Trigonométrica. Tenho que buscar uma forma de, através de relações trigonométricas, simplificar a cara dessa integral aí. Tem uma que me vem à cabeça que trabalha justamente isso, um produto entre cossenos, olha:
Nesse caso aí, fica desse jeito:
Reescrevendo na equação agora.
Faça o seguinte, estudante: olhe para o gráfico do cosseno de até .
Reparou que a função é espelhada? É aquela chamada função par, quando .
Nesse caso, observando a integral como área, a gente nota que uma integral do cosseno de limites de integração múltiplos de vai zerar, pois a porção de área acima do eixo será sempre igual à de baixo.
Poréeeeeem, isso não acontecerá apenas em um caso. Adivinha que caso é esse?
Que acontece quando . Nesse caso, o gráfico não tem parte negativa, já que será inteiramente positivo, sempre. Dessa forma, apenas para provar, vamos fazer a integral quando :
Abrindo por essa relação fica tranquilo:
E é isso, provado que a integral vale para e para .