Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

UFRJ, Cálculo 1, P2 - 2017.1, Questão ME5

5) A integral

0 1 x + 9 x + 1 x + 2   d x

  1. 15 ln 2 - 7 ln 3
  2. 9 ln 2 - 4 ln 3
  3. 11 ln 2 - 5 ln 3
  4. 3 ln 2 - ln 3

Passo 1

Para a integral dada, como temos denominador já separado em um produto, podemos pensar em integrar por frações parciais!

x + 9 x + 1 x + 2 d a

Vamos encontrar as frações parciais então dessa função então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela teoria...

x + 9 x + 1 x + 2 = A x + 1 + B x + 2

Para determinar A e B , somemos as frações tirando o M M C e tudo mais (lembrando que MMC de expressões que não conhecemos é o produto simplesmente):

A x + 1 + B x + 2 = A x + 2 + B x + 1 x + 1 x + 2

Igualando a...

x + 9 x + 1 x + 2 = A x + 2 + B x + 1 x + 1 x + 2

Como o denominador é o mesmo, podem sair do jogo...

x + 9 = A x + 2 + B x + 1    

x + 9 = A x + 2 A + B x + B    

x + 9 = A + B x + 2 A + B    

Por igualdade de polinômio...

A + B = 1 2 A + B = 9    

A = 1 - B

2 1 - B + B = 9               2 - B = 9                         B = - 7

A = 8

Passo 3

Logo, voltando para a integral...

x + 9 x + 1 x + 2 d x = A x + 1 + B x + 2 d x

8 x + 1 + - 7 x + 2 d x

Integrando...

8 ln x + 1 - 7 ln x + 2 + C

Aplicando os limites da integral definida que na real buscamos...

0 1 x + 9 x + 1 x + 2   d x = 8 ln 1 + 1 - 7 ln 1 + 2 - 8 ln 1 - 7 ln 2

15 ln 2 - 7 ln 3

Resposta

  1. 15 ln 2 - 7 ln 3

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