Exercícios Resolvidos de Frações Parciais

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G3 - 2014.1, Questão 3a

Resolva a integral:

x 3 - 4 x - 10 x 2 - x - 6 d x

Passo 1

Vamos, primeiramente, identificar qual método de integração vamos utilizar. Nesse caso o mais indicado é o método de frações parciais. Só que vamos ter que fazer uma pequena manipulação na expressão, porque o GRAU do numerador é maior do que o GRAU do denominador. Então, vamos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador. E assim, feita a divisão, vamos obter um quociente x + 1 e resto 3 x - 4 .

Logo, podemos reescrever a expressão que temos que integrar da seguinte maneira:

3 x - 4 x 2 - x - 6 + x + 1 d x

3 x - 4 x 2 - x - 6 d x + x d x + d x

Então chegamos numa soma de integrais, e na primeira integral podemos usar o método das frações parciais.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Desmembrando em frações parciais:

3 x - 4 x 2 - x - 6 = A x - 3 + B x + 2

3 x - 4 x 2 - x - 6 = A x + 2 + B x - 3 x - 3 x + 2

E então teremos:

3 x - 4 = A x + 2 + B x - 3 = A x + 2 A + B x - 3 B

Vamos ter o seguinte sistema pra resolver:

3 = A + B - 4 = 2 A - 3 B

Passo 3

Resolvendo o sistema que a gente chegou, encontramos os valores:

A = 1

B = 2

Então voltando pra integral que temos que calcular:

x + 2 x 2 - x - 6 d x + 2 ( x - 3 ) x 2 - x - 6 d x + x d x + d x

1 x - 3 d x + 2 x + 2 d x + x d x + d x

E finalmente:

ln x - 3 + 2 ln x + 2 + x 2 2 + x + C

Resposta

ln x - 3 + 2 ln x + 2 + x 2 2 + x + C

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas