Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

PUC-RJ - Cálculo B - P1 2014.2 - 3 a

Calcule as integrais:

cos π x x 2 d x

Passo 1

Lembra que o princípio do método da substituição simples é identificar dentro da integral uma parte que seja derivada da outra a menos de uma constante? O objetivo é não sobrar x !

Eu tenho no denominador x 2 . Observe que eu posso pensar nesse x 2 no denominador como algo assim:

cos π x x 2 d x = 1 x 2   cos π x   d x

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Passo 2

Agora lembra que a derivada de 1 x é - 1 x 2 ?

Então, que tal chamarmos o termo que está dentro do cosseno de u ?

Acho que é a boa, hein?

Fazendo a substituição:

u = π x d u = - π x 2 d x

Passo 3

Passo 4

Retornando à nossa integral, fazendo as substituições acima:

cos π x u 1 x 2   d x - 1 π d u = - 1 π   cos u   d u =   - 1 π s e n   u + C

Não esqueça que se trata de uma integral indefinida, então tem que ter essa constante   C aí, hein?

= - s e n   u π + C  

Voltando para x :

=   - s e n   π x π + C  

Resposta

cos π x x 2 d x = - sen π x π + C

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