Exercícios Resolvidos de Esboço de Gráfico

Seja f x = x e x .

  1. Determine os intervalos de crescimento/decrescimento de f , e os seus pontos de máximo e mínimo
  2. Determine os intervalos onde f é côncava pra cima/baixo e os seus pontos de inflexão
  3. Caso existam, encontre as assíntotas horizontais e verticais de f
  4. Esboce o gráfico de f usando (pelo menos) as informações obtidas nos itens a ,   b e c

Passo 1

Bora começar então! Pô, indo na ordem do enunciado, a primeira coisa que temos que fazer é conversar sobre intervalos de crescimento e decrescimento. Pra isso, vamos precisar do sinal da primeira derivada! Partiu então, usando uma regra do produto, achamos:

f ' x = x e x '

f ' x = x e x ' + x ' e x

f ' x = x e x + e x

f ' x = e x x + 1

Show de bola! Agora pra analisar o sinal, vamos ver primeiro quando que a primeira derivada zera: f ' x = e x x + 1 = 0

x + 1 = 0

x = - 1

O truque vai ser analisar então o sinal da derivada em intervalos que envolvam o ponto encontrado acima. Já que só achamos um ponto crítico x = - 1 os intervalos vão ser:

- ∞ , - 1

- 1 , + ∞

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = - 2 . Vamos ter:

f ' - 2 = e - 2 - 2 + 1 = - 1 e 2 < 0

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = 0 . Vamos ter:

f ' 0 = e 0 0 + 1 = 1 > 0

Opa, então a função decrescia antes de chegar em x = - 1 (porque a primeira derivada é negativa) e depois passou a crescer (porque a primeira derivada se tornou positiva). Isso quer dizer então que o ponto que achamos é um ponto de mínimo! Resumindo tudo bonitinho fica assim:

P o n t o   d e   M í n i m o → x = - 1   F u n ç ã o   c r e s c e n t e   e m   - 1 , + ∞ F u n ç ã o   d e c r e s c e n t e   e m   - ∞ , - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Maravilha, agora a gente vai continuar fazendo uma análise beeeeem semelhante a anterior, só que dessa vez pra segunda derivada, tranquilo? Vamos ter:

f ' ' x = x e x + e x '

f ' ' x = x e x ' + e x

Como essa derivada que sobrou nós já fizemos...

f ' ' x = x e x + e x + e x

f ' ' x = x e x + 2 e x

f ' ' x = e x x + 2

Tranquilo! Agora analisando o sinal, vamos ver quando que a segunda derivada zera: f ' x = e x x + 2 = 0

x + 2 = 0

x = - 2

O truque vai ser analisar então o sinal da derivada em intervalos que envolvam o ponto encontrado acima. Já que só achamos um só o x = - 2 , os intervalos vão ser:

- ∞ , - 2

- 2 , + ∞

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = - 3 . Vamos ter:

f ' - 3 = e - 3 - 3 + 2 = - 1 e 3 < 0

Pro primeiro intervalo, podemos testar, por exemplo, x = 0 . Vamos ter:

f ' 0 = e 0 0 + 2 = 2 > 0

Opa, então a função tinha concavidade pra baixo antes de chegar em x = - 2 (porque a segunda derivada é negativa) e depois passou a ter concavidade pra cima (porque a segunda derivada se tornou positiva). Isso quer dizer então que o ponto que achamos é um ponto de inflexão! Resumindo tudo bonitinho fica assim:

P o n t o   d e   I n f l e x ã o → x = - 2   C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a   e m   - 2 , + ∞ C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o   e m   - ∞ , - 2

Passo 3

Calma que ta acabando galera, última coisa antes do esboço e do abraço! A questão quer as assíntotas, né não? Felizmente nesse caso só vamos precisar nos preocupar com as horizontais. Porque? Bem, dá uma olhada na função:

f x = x e x

Será que tem algum valor de x que se eu der pra minha função ela não consegue me retornar um número? Pô, acho que não em! Se não existem restrições pra função, ou seja, se o domínio dela é o próprio conjunto dos reais, não temos candidatos a assíntotas verticais! Agora, pras horizontais, fazemos:

lim x → + ∞ ⁡ x e x = lim x → + ∞ ⁡ x ∙ lim x → + ∞ ⁡ e x = ∞ ∙ ∞ = + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x e x = lim x → - ∞ ⁡ x e - x = - ∞ + ∞ = L H   = lim x → - ∞ ⁡ - 1 e - x = - 1 + ∞ = 0

Temos sim uma assíntota! A horizontal y = 0 (ou o próprio eixo O x , pros íntimos)

Passo 4

Juntando tudo, conseguimos partir pro abraço esboçando esse carinha aí!

P o n t o   d e   M í n i m o → x = - 1   F u n ç ã o   c r e s c e n t e   e m   - 1 , + ∞ F u n ç ã o   d e c r e s c e n t e   e m   - ∞ , - 1

P o n t o   d e   I n f l e x ã o → x = - 2   C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a   e m   - 2 , + ∞ C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o   e m   - ∞ , - 2

A s s í n t o t a   H o r i z o n t a l   y = 0

Resposta

P o n t o   d e   M í n i m o → x = - 1   F u n ç ã o   c r e s c e n t e   e m   - 1 , + ∞ F u n ç ã o   d e c r e s c e n t e   e m   - ∞ , - 1

P o n t o   d e   I n f l e x ã o → x = - 2   C o n c a v i d a d e   p r a   c i m a   e m   - 2 , + ∞ C o n c a v i d a d e   p r a   b a i x o   e m   - ∞ , - 2

A s s í n t o t a   H o r i z o n t a l   y = 0

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