4) Seja f a função dada por:

f x = x ln ⁡ - 2 x

  1. Determine o domínio da função f
  2. Determine as equações das retas assíntotas horizontais do gráfico de f , caso existam.
  3. Determine as equações das retas assíntotas verticais do gráfico de f , caso existam.
  4. Determine o(s) intervalo(s) de crescimento e de decrescimento de f .
  5. Determine o(s) intervalo(s) onde o gráfico de f tem concavidade voltada para cima e onde tem concavidade voltada para baixo
  6. Esboce o gráfico de f e suas retas assíntotas horizontais e verticais, caso existam

Passo 1

Questão completa essa em! Então vamos lá, começando pelo domínio. Como temos uma parcela logarítma nessa função, não vale qualquer x não em! O interior de um logarítimo tem que sempre ser positivo. Sendo assim, temos:

- 2 x > 0

x < 0

Então o domínio da função vai ser

D o m f = - ∞ , 0

Passo 2

Agora bora ver as assíntotas horizontais. Pra vermos se tem assíntotas, temos que fazer os seguintes limites

lim x → - ∞ ⁡ f x

lim x → + ∞ ⁡ f x

Pro primeiro limite, vamos ter:

lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ - 2 x = lim x → - ∞ ⁡ x ∙ lim x → - ∞ ⁡ ln ⁡ - 2 x

lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ - 2 x = - ∞ ∙ + ∞

lim x → - ∞ ⁡ x ln ⁡ - 2 x = - ∞

Agora, pro segundo limite, como o domínio é:

D o m f = - ∞ , 0

Calcular ele não faz sentido. Sendo assim, como não tivemos limite tendendo a um número, não vamos ter assíntota horizontal, beleza?

Passo 3

Pra ver as assíntotas horizontais, temos que ver o limite para os pontos que “dão problema” na nossa função. Veja bem, x > 0 a função não está nem definida, e x < 0 ela está, sem problema algum. O ponto que dá problema então é x = 0 . Fazendo o limite, achamos então:

lim x → 0 - ⁡ x ln ⁡ - 2 x = lim x → 0 - ⁡ x ∙ lim x → 0 - ⁡ ln ⁡ - 2 x

lim x → 0 - ⁡ x ln ⁡ - 2 x = 0 ∙ - ∞

lim x → 0 - ⁡ x ln ⁡ - 2 x = 0

Opa, deu um número! Não é uma assíntota então! Seria assíntota vertical se tivéssemos achado ± ∞ . Seguindo então!

Passo 4

Pra ver intervalo de crescimento e decrescimento, temos que ver quando a inclinação da reta tangente é positiva ou negativa. E que melhor forma de fazer isso que usando a primeira derivada, que é exatamente essa inclinação? Usando a regra do produto então, derivamos:

f ' x = x ln ⁡ - 2 x '

f ' x = x ' ln ⁡ - 2 x + x ln ⁡ - 2 x '

f ' x = ln ⁡ - 2 x + x - 2 x - 2 x '

f ' x = ln ⁡ - 2 x - 1 2 - 2 x '

f ' x = ln ⁡ - 2 x + 2 2

Por fim, ficamos com:

f ' x = ln ⁡ - 2 x + 1

Bem, como queremos saber quando essa primeira derivada muda de sinal, temos que ver primeiro quando ela não tem sinal, ou seja, precisamos achar suas raízes. Pra isso, igualamos à 0 , beleza? Bora lá:

f ' x = ln ⁡ - 2 x + 1 = 0

ln ⁡ - 2 x = - 1

e - 1 = - 2 x

x = - 1 2 e

Então pra gente checar o sinal da derivada, vamos escolher intervalos que envolvam essa raíz que achamos e o domínio da função. Os intervalos vão ser:

- ∞ , - 1 2 e

- 1 2 e , 0

Para o primeiro intervalo, vamos testar x = - 1 e . Vamos ter:

f ' - 1 e = ln ⁡ 2 e + 1 = ln ⁡ 2 ∙ ln ⁡ e - 1 + 1

f ' - 1 4 e = - ln ⁡ 2 + 1 > 0

Para o segundo intervalo, vamos testar x = - 1 4 e . Vamos ter:

f ' - 1 4 e = ln ⁡ 1 2 e + 1 = ln ⁡ 1 2 ∙ ln ⁡ e - 1 + 1

f ' - 1 4 e = - ln ⁡ 1 2 + 1 < 0

Como a primeira derivada positiva quer dizer função crescente, e a primeira derivada negativa função decrescente, vamos ter:

C r e s c e n t e → - ∞ , - 1 2 e   D e c r e s c e n t e → - 1 2 e , 0

Passo 5

Agora, pra concavidade, a ideia é a mesma do intervalo de crescimento e decrescimento, ok? O que vai mudar agora é que vamos analisar a segunda derivada, pra isso:

f ' ' x = f ' x '

f ' ' x = ln ⁡ - 2 x + 1 '

Derivando então, vamos ter:

f ' ' x = - 1 2 x - 2 x '

f ' ' x = 2 2 x

f ' ' x = 1 x

E veja só! Essa função nunca zera! Porém, se:

x > 0 → f ' ' x > 0 x < 0 → f ' ' x < 0

Como x > 0 não está definido na nossa f x , então a segunda derivada vai ser sempre negativa em todo o domínio! E segunda derivada negativa quer dizer concavidade pra baixo!

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → - ∞ , 0

Passo 6

Temos tudo viu? Só pra ficar bem claro, o que vimos foi:

D o m f = - ∞ , 0

S e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s

S e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s lim x → 0 - ⁡ x ln ⁡ - 2 x = 0

C r e s c e n t e → - ∞ , - 1 2 e   D e c r e s c e n t e → - 1 2 e , 0

C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → - ∞ , 0

Juntando todas essas informações, esboçamos:

Resposta

  1. D o m f = - ∞ , 0
  2. S e m   a s s í n t o t a s   h o r i z o n t a i s
  3. S e m   a s s í n t o t a s   v e r t i c a i s lim x → 0 - ⁡ x ln ⁡ - 2 x = 0
  4. C r e s c e n t e → - ∞ , - 1 2 e   D e c r e s c e n t e → - 1 2 e , 0
  5. C o n c a v i d a d e   p a r a   b a i x o → - ∞ , 0

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