Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

PUCRIO, Cálculo B - MAT1158, G2 - 2018.1, Questão Q03c

c) Calcule:

e x sin x d x

Passo 1

Pra gente integrar esse sujeito aí, vamos olhar no fundo dos olhos dele:

e x sin x

Vamos ter então exponencial vezes uma trigonométrica. E olha só, isso ai tem cheiro de resolução por integração por partes. Quer ver? Seja:

f = sin x d f = cos x d x

d g = e x d x g = e x

A integração por partes:

f   d g = f g - g   d f  

E logo:

e x sin x d x = e x sin x - e x cos x   d x  

Ok, não adiantou muita coisa por enquanto, porque caímos em outra integral de uma exponencial vezes uma função trigonométrica. Bem, vamos tentar integrar por partes de novo então. Veja só:

f = cos x d f = - sin x d x

d g = e x d x g = e x

A integração por partes:

f   d g = f g - g   d f  

Fica:

e x cos x   d x = e x cos x + e x sin x d x  

Agora sim vai dar certo, quer ver? Juntando os dois resultados, temos:

e x sin x d x = e x sin x - e x cos x + e x sin x d x    

2 e x sin x d x = e x sin x - e x cos x  

e x sin x d x = e x 2 sin x - cos x + C  

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Resposta

e x sin x d x = e x 2 sin x - cos x + C  

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