Exercícios Resolvidos de Integração por Partes

UFF, Cálculo IIA, Listas GMA - Lista 5, Questão 1

Nos exercícios de 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

1)

a r c s i n   x   x d x

Passo 1

A primeira coisa que temos que fazer em uma integral é olhar!

“Hm? Oi? Olhar? Como assim?”

Isso mesmo, olhar! Olhar para a integral e “conversar” com ela. Perguntar qual método é o mais conveniente para resolvê-la, pois toda integral meio que te sugere qual é esse caminho de resolução.

Parece uma coisa boba, mas por incrível que pareça isso ajuda muito. Então vamos lá! ☺

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

a r c s i n   x   x d x

Repare que a integral tem uma fração mas que pode ser separada:

a r c s i n   x   x d x = 1 x a r c s i n   x     d x

O a r c s i n   x   é difícil de integrar, mas é fácil de derivar. Enquanto isso, 1 / x é mais fácil de integrar. Isso só pode sugerir um método... Integração por partes.

u d v = u v - v d u

Repare então que para resolver por esse método necessitamos de saber quem é u e d v , e lembre-se que o u é sempre o cara fácil de derivar enquanto o d v , o cara fácil de integrar.

Passo 3

Já vimos no passo anterior que a r c s i n   x   é fácil de derivar, então ele é o u , enquanto que o d v é o 1 / x ...

u = a r c s i n   x  

d v = 1 x d x

Então agora derivemos u para obter o d u aplicando a regra da cadeia (derivando primeiro o arco-seno e multiplicando pela derivada do argumento x ):

d u = 1 1 - x 2 x ' d x      

d u = 1 1 - x 1 2 x   d x                            

d u = 1 2 x 1 - x   d x

Agora em relação ao d v ... Integremos para obter o v ...

d v = 1 x d x    

d v = 1 x d x    

v = x - 1 2 d x    

v = x 1 2 1 2 = 2 x

Sempre quando terminar essas continhas, monte uma tabelinha, Veja:

u = a r c s i n   x                         d u = 1 2 x 1 - x   d x

d v = 1 x d x                                       v = 2 x                                            

Com essa tabelinha em mãos, vem comigo substituir na fórmula de integração por partes ☺!

Passo 4

Pela fórmula é...

u d v = u v - v d u

Substituindo...

a r c s i n   x   1 x   d x = a r c s i n   x   2 x - 2 x 1 2 x 1 - x   d x

a r c s i n   x   x   d x = 2 x   a r c s i n   x   - 1 1 - x   d x

Repare que agora caímos na resolução de uma integral bem mais fácil:

1 1 - x   d x

Vamos resolver essa integral separadamente.

Passo 5

1 1 - x   d x

Novamente, pergunte o que a integral quer!

Repare que essa integral é semelhante com uma que resolvemos no passo 3 para obter o v , o que sugere um resultado parecido. Portanto se fizermos uma substituição simples...

1 - x = a        

d a = - d x         o u             d x = - d a

Substituindo...

1 a   - d a = - 1 a   d a

Já resolvemos essa integral...

- 1 a d x     = - 2 a

Trocando a novamente...

1 1 - x   d x = - 2 a = - 2 1 - x

Passo 6

Voltando para a integração principal...

a r c s i n   x   x   d x = 2 x a r c s i n   x   - 1 1 - x   d x

a r c s i n   x   x   d x = 2 x   a r c s i n   x   - - 2 1 - x + C

a r c s i n   x   x   d x = 2 x   a r c s i n   x   + 2 1 - x + C

Onde C é a constante de integração ;)

Resposta

2 x   a r c s i n   x   + 2 1 - x + C

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