Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

Elaboração própria

Derive a função:

y = sen 3 ( ln ( x 2 ) )

Passo 1

Tem duas formas de fazer essa derivada, uma mais direta ao ponto e outra usando fórmulas. Fica a seu gosto qual você prefere, beleza? Mas relaxa que vamos ver as duas.

Vou, antes de tudo, dar uma desmembrada na função. Repara comigo, é como se ali estivessem escritas duas funções, observadas de fora pra dentro:

f x = x 3       ;       g x = sin ln x 2    

De modo que uma estaria dentro da outra, desta forma:

y = f g x

Reparou? Isso cai na Regra da Cadeia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos derivar então. Seguindo a regra da cadeia:

y ' = f g x ' = f ' g x g x '

Isso vai dar:

y ' = 3 sen 2 ln x 2 sin ln x 2 '

No caso, eu vou ter que repetir essa Regra mais uma vez. Porque repara bem, é como se tivéssemos de novo uma função dentro da outra:

f x = sin x       ;       g x = ln x 2    

Fazendo a regra da cadeia de novo:

sin ln x 2 ' = f g x ' = f ' g x g x '

sin ln x 2 ' = cos ln x 2 ln x 2 '

E cara, ainda não acabou! Vamos precisar aplicar a regra da cadeia mais uma vez (virou um combo isso aí rs)! Isso porque podemos enxergar a derivada que sobrou como:

f x = ln x       ;       g x = x 2    

E fazendo a regra da cadeia temos:

ln x 2 ' = f g x ' = f ' g x g x '

ln x 2 ' = 1 x 2 x 2 ' = 1 x 2 2 x = 2 x

Passo 3

Agora chegamos na parte boa em que fechamos a questão, juntando tudo que vimos:

y ' = 3 sen 2 ln x 2 sin ln x 2 '

sin ln x 2 ' = cos ln x 2 ln x 2 '

ln x 2 ' = 2 x

Chegamos à:

y ' = 3 sen 2 ln x 2 cos ln x 2 2 x

y ' = 6   sen 2 ln x 2 cos ln x 2 x

Passo 4

A outra forma da gente resolver é identificar logo todas as funções que estão dentro uma da outra. Aí acabamos montando uma fórmula bem grande. Veja bem:

y = sen 3 ( ln ( x 2 ) )

Pode ser entendido como:

y = f g h i x

Se fizermos:

f x = x 3 h x = ln x g x = sin x i x = x 2

Como pra fazer regra da cadeia três vezes vamos precisar de todas as derivadas, temos:

f ' x = 3 x 2 h ' x = 1 x g ' x = cos x i ' x = 2 x

Então mãos a obra, derivando uma primeira vez:

y ' = f g h i x ' = f ' g h i x g h i x '

E não tem jeito, o carinha lá do final também vai ser derivado usando a regra da cadeia:

g h i x ' = g ' h i x h i x '

E uma terceira e última vez também tem que ser feita:

h i x ' = h ' i x i x '

De forma que a derivada vai ficar:

y ' = f ' g h i x g ' h i x h ' i x i ' x

Agora é só substituir já que sabemos todas as funções e suas derivadas. Pro primeiro termo dos quatro, temos f ' x com x substituído por g h i x , logo:

f ' x = 3 x 2 g h i x = sin ln x 2

f ' g h i x = 3 sin ln x 2 2 = 3 sin 2 ln x 2

No segundo termo, temos g ' x com x substituído por h i x , logo:

g ' x = cos x h i x = ln x 2

g ' h i x = cos ln x 2

No terceiro termo, temos h ' x com x substituído por i x , logo:

h ' x = 1 x i x = x 2

h ' i x = 1 x 2

E pra finalizar sobrou só o i ' x = 2 x já conhecido. Juntando tudo:

f ' g h i x = 3 sin 2 ln x 2 g ' h i x = cos ln x 2 h ' i x = 1 x 2 i ' x = 2 x

A derivada fica:

y ' = f ' g h i x g ' h i x h ' i x i ' x

y ' = 3 sin 2 ln x 2 cos ln x 2 1 x 2 2 x

y ' = 6 sen 2 ln x 2 cos ln x 2 x

Eu sei, a questão foi meio grandinha. Mas confia: é tudo questão de ter a definição da Regra da Cadeia e as derivadas das funções importantes memorizadas e atenção na hora disso tudo. Com o tempo vem a prática, e você vai derivar tudo de olho fechado. ;)

Resposta

y ' = 6 sen 2 ln x 2 cos ln x 2 x

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas